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Análisis de la respuesta en el tiempo de sistemas lineales

Se puede analizar para los dos estados de un sistema lineal:

Estado transitorio

Sistemas de primer orden

El parámetro importante es la constante de tiempo TT. Pues la respuesta llega al 98% de su valor final en 4T4T. Se considera que ahí termina el transitorio y comienza el estado estacionario.
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Sistemas de segundo orden

Tienen la siguiente función de transferencia general:

C(s)R(s)=ωn2s2+2ξωns+ωn2\dfrac{C(s)}{R(s)}=\dfrac{\omega_n^2}{s^2+2\xi\omega_n s +\omega_n^2}

Análisis de la respuesta al impulso

s1,2=ξωn±ωnξ21s_{1,2}=-\xi\omega_n\pm\omega_n\sqrt{\xi^2-1}

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cosβ=ξβ=arccosξ\cos\beta=\xi\\\beta=\arccos{\xi}
Caso Amortiguamiento Polos Respuesta
ξ=0\xi=0 No hay amortiguamiento Imaginarios e iguales Senoidal
0<ξ<10\lt\xi\lt1 Subamortiguado Imaginarios y diferentes Oscila y se atenúa
ξ=1\xi=1 Criticamente amortiguado Reales e iguales Exponencial
ξ1\xi\geq1 Sobreamortiguado Reales y diferentes Exponencial

Análisis de la respuesta al escalón unitario

Nos centramos en el caso donde 0<ξ<10\lt\xi\lt1:
Se definen:

tp=πωn1ξ2tp=\dfrac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\xi^2}} Mp=c(tp)c()c()100%Mp=eπξ1ξ2 100%M_p=\dfrac{c(t_p)-c(\infty)}{c(\infty)}100\%\quad\quad M_p=e^{-\frac{\pi\xi}{\sqrt{1-\xi^2}}}\ 100\% ts=4ξωnt_s=\dfrac{4}{\xi\omega_n}

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Estado estacionario

Teorema del valor final

Establece que el límite cuando el tiempo tiende a infinito de una función que depende del tiempo, es igual al producto de la variable ss; en el dominio de Laplace, por la transformada de Laplace de dicha función.

limtf(t)=lims0sL{f}(s)\lim_{t \rightarrow \infty} f(t) = \lim_{s \rightarrow 0} s\mathcal{L}\left\{f\right\}(s)

Por lo que:

limty(t)=lims0sY(s)\lim_{t \rightarrow \infty} y(t) = \lim_{s \rightarrow 0} sY(s)

Error en el estado estacionario

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E(s)=11+G(s)R(s)E(s)=\dfrac{1}{1+G(s)}R(s) ess=limte(t)=t. valor finallimtsE(t)=lims0sR(s)1+G(s)e_{ss}=\lim_{t\rightarrow\infty}e(t)\stackrel{\text{t. valor final}}{=}\lim_{t\rightarrow\infty}sE(t)=\lim_{s\rightarrow 0}{\dfrac{sR(s)}{1+G(s)}}

El error E(s)E(s) depende de:

Considerando la función de transferencia G(s) general:

G(s)H(s)=K(Tas+1)(Tbs+1)(Tms+1)sN(T1s+1)(T2s+1)(Tps+1)G(s)H(s)=\dfrac{K(T_a s + 1)(T_b s + 1)\ldots(T_m s + 1)}{s^N(T_1 s + 1)(T_2 s + 1)\ldots(T_p s + 1)}

Donde:
KK = Ganancia en lazo abierto.
sNs^N = Polo de multiplicidad NN en el origen.

El TIPO del sistema sería la multiplicidad del polo en el origen NN

El TIPO de sistema está relacionado con la precisión, mientras más grande sea el tipo de sistema, mayor será la precisión pero peor, será la estabilidad.

Constante del error de posición (escalón) KpK_p

Cuando la entrada es un escalón unitario.

c(t)={0t<01t>0c(t)=\begin{cases} 0 & t<0\\ 1 & t>0\\ \end{cases}

Dado que la transformada de Laplace está definida para t>0t>0:

C(s)=1sC(s)=\dfrac{1}{s}

Aplicando la expresión del error:

ess=lims0s1s1+G(s)=lims011+G(s)=lims011+Kp\begin{aligned} e_{ss}&= \lim_{s \rightarrow 0} \dfrac{s\dfrac{1}{s}}{1 + G(s)}\\ &= \lim_{s \rightarrow 0} \dfrac{1}{1 + G(s)}\\ &= \lim_{s \rightarrow 0} \dfrac{1}{1 + Kp}\\ \end{aligned}

Por lo que, KpKp queda definida de la siguiente forma:

Kp=lims0G(s)Kp=\lim_{s \rightarrow 0} G(s)

Esta constante describe la capacidad de un sistema con retroalimentación para reducir o eliminar el error de posición en el estado estable.
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Constante del error de velocidad (rampa) KvK_v

Cuando la entrada es una rampa unitaria.

c(t)=tc(t)=|t|

Dado que la transformada de Laplace está definida para t>0t>0:

C(s)=1s2C(s)=\dfrac{1}{s^2}

Aplicando la expresión del error:

ess=lims0s1s21+G(s)=lims01s[1+G(s)]=lims01s+sG(s)=lims01s+Kv=1Kv\begin{aligned} e_{ss}&= \lim_{s \rightarrow 0} \dfrac{s\dfrac{1}{s^2}}{1 + G(s)}\\ &= \lim_{s \rightarrow 0} \dfrac{1}{s[1 + G(s)]}\\ &= \lim_{s \rightarrow 0} \dfrac{1}{s + sG(s)}\\ &= \lim_{s \rightarrow 0} \dfrac{1}{s + Kv}\\ &= \dfrac{1}{Kv}\\ \end{aligned}

Por lo que, KvKv queda definida de la siguiente forma:

Kv=lims0sG(s)Kv=\lim_{s \rightarrow 0} sG(s)

Esta constante describe la capacidad de un sistema con retroalimentación para reducir o eliminar el error de velocidad en el estado estable.
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Constante del error de aceleración (parábola) KaK_a

Cuando la entrada es una parábola.

c(t)=12t2c(t)=\dfrac{1}{2}t^2

Se obtiene su transformada de Laplace.

C(s)=1s3C(s)=\dfrac{1}{s^3}

Aplicando la expresión del error:

e=lims0s1s31+G(s)=lims01s2[1+G(s)]=lims01s2+s2G(s)=lims01s2+Ka=1Ka\begin{aligned} e_{\infty}&= \lim_{s \rightarrow 0} \dfrac{s\dfrac{1}{s^3}}{1 + G(s)}\\ &= \lim_{s \rightarrow 0} \dfrac{1}{s^2[1 + G(s)]}\\ &= \lim_{s \rightarrow 0} \dfrac{1}{s^2 + s^2G(s)}\\ &= \lim_{s \rightarrow 0} \dfrac{1}{s^2 + Ka}\\ &= \dfrac{1}{Ka}\\ \end{aligned}

Por lo que, KaKa queda definida de la siguiente forma:

Ka=lims0s2G(s)Ka=\lim_{s \rightarrow 0} s^2G(s)

Esta constante describe la capacidad de un sistema con retroalimentación para reducir o eliminar el error de aceleración en el estado estable.

Relación del TIPO de sistema y los errores

Esto se puede ver, analizando el error para los diferentes tipos de sistema:

  Error de posición Error de velocidad Error de aceleración
Sistema TIPO 0 11+K\dfrac{1}{1+K} \infty \infty
Sistema TIPO 1 0 1K\dfrac{1}{K} \infty
Sistema TIPO 2 0 0 1K\dfrac{1}{K}

Por lo general sólo se analiza hasta sistemas de tipo 3, porque la estabilidad suele ser muy mala para sistemas de tipo mayor.

Incremento del TIPO de sistema

Para incrementar el tipo de sistema se debe utilizar un integrador:
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Por ejemplo, tratandose de sistemas electrónicos analógicos, se pueden utilizar dos aplificadores operacionales, uno en configuración integrador inversor y otro en inversor:
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U(s)E(s)=(1RCs)(RxRx)=1RCs\dfrac{U(s)}{E(s)}=\left(-\dfrac{1}{RCs}\right)\left(-\dfrac{R_x}{R _x}\right)=\dfrac{ \frac{1}{RC} }{s}