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An谩lisis de la respuesta en el tiempo de sistemas lineales

Se puede analizar para los dos estados de un sistema lineal:

Estado transitorio

Sistemas de primer orden

El par谩metro importante es la constante de tiempo $T$. Pues la respuesta llega al 98% de su valor final en $4T$. Se considera que ah铆 termina el transitorio y comienza el estado estacionario.
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Sistemas de segundo orden

Tienen la siguiente funci贸n de transferencia general:

\[\dfrac{C(s)}{R(s)}=\dfrac{\omega_n^2}{s^2+2\xi\omega_n s +\omega_n^2}\]

An谩lisis de la respuesta al impulso

\[s_{1,2}=-\xi\omega_n\pm\omega_n\sqrt{\xi^2-1}\]

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\[\cos\beta=\xi\\\beta=\arccos{\xi}\]
Caso Amortiguamiento Polos Respuesta
$\xi=0$ No hay amortiguamiento Imaginarios e iguales Senoidal
$0\lt\xi\lt1$ Subamortiguado Imaginarios y diferentes Oscila y se aten煤a
$\xi=1$ Criticamente amortiguado Reales e iguales Exponencial
$\xi\geq1$ Sobreamortiguado Reales y diferentes Exponencial

An谩lisis de la respuesta al escal贸n unitario

Nos centramos en el caso donde $0\lt\xi\lt1$:
Se definen:

\[tp=\dfrac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\xi^2}}\] \[M_p=\dfrac{c(t_p)-c(\infty)}{c(\infty)}100\%\quad\quad M_p=e^{-\frac{\pi\xi}{\sqrt{1-\xi^2}}}\ 100\%\] \[t_s=\dfrac{4}{\xi\omega_n}\]

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Estado estacionario

Teorema del valor final

Establece que el l铆mite cuando el tiempo tiende a infinito de una funci贸n que depende del tiempo, es igual al producto de la variable $s$; en el dominio de Laplace, por la transformada de Laplace de dicha funci贸n.

\[\lim_{t \rightarrow \infty} f(t) = \lim_{s \rightarrow 0} s\mathcal{L}\left\{f\right\}(s)\]

Por lo que:

\[\lim_{t \rightarrow \infty} y(t) = \lim_{s \rightarrow 0} sY(s)\]

Error en el estado estacionario

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\[E(s)=\dfrac{1}{1+G(s)}R(s)\] \[e_{ss}=\lim_{t\rightarrow\infty}e(t)\stackrel{\text{t. valor final}}{=}\lim_{t\rightarrow\infty}sE(t)=\lim_{s\rightarrow 0}{\dfrac{sR(s)}{1+G(s)}}\]

El error $E(s)$ depende de:

Considerando la funci贸n de transferencia G(s) general:

\[G(s)H(s)=\dfrac{K(T_a s + 1)(T_b s + 1)\ldots(T_m s + 1)}{s^N(T_1 s + 1)(T_2 s + 1)\ldots(T_p s + 1)}\]

Donde:
$K$ = Ganancia en lazo abierto.
$s^N$ = Polo de multiplicidad $N$ en el origen.

El TIPO del sistema ser铆a la multiplicidad del polo en el origen $N$

El TIPO de sistema est谩 relacionado con la precisi贸n, mientras m谩s grande sea el tipo de sistema, mayor ser谩 la precisi贸n pero peor, ser谩 la estabilidad.

Constante del error de posici贸n (escal贸n) $K_p$

Cuando la entrada es un escal贸n unitario.

\[c(t)=\begin{cases} 0 & t<0\\ 1 & t>0\\ \end{cases}\]

Dado que la transformada de Laplace est谩 definida para $t>0$:

\[C(s)=\dfrac{1}{s}\]

Aplicando la expresi贸n del error:

\[\begin{aligned} e_{ss}&= \lim_{s \rightarrow 0} \dfrac{s\dfrac{1}{s}}{1 + G(s)}\\ &= \lim_{s \rightarrow 0} \dfrac{1}{1 + G(s)}\\ &= \lim_{s \rightarrow 0} \dfrac{1}{1 + Kp}\\ \end{aligned}\]

Por lo que, $Kp$ queda definida de la siguiente forma:

\[Kp=\lim_{s \rightarrow 0} G(s)\]

Esta constante describe la capacidad de un sistema con retroalimentaci贸n para reducir o eliminar el error de posici贸n en el estado estable.
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Constante del error de velocidad (rampa) $K_v$

Cuando la entrada es una rampa unitaria.

\[c(t)=|t|\]

Dado que la transformada de Laplace est谩 definida para $t>0$:

\[C(s)=\dfrac{1}{s^2}\]

Aplicando la expresi贸n del error:

\[\begin{aligned} e_{ss}&= \lim_{s \rightarrow 0} \dfrac{s\dfrac{1}{s^2}}{1 + G(s)}\\ &= \lim_{s \rightarrow 0} \dfrac{1}{s[1 + G(s)]}\\ &= \lim_{s \rightarrow 0} \dfrac{1}{s + sG(s)}\\ &= \lim_{s \rightarrow 0} \dfrac{1}{s + Kv}\\ &= \dfrac{1}{Kv}\\ \end{aligned}\]

Por lo que, $Kv$ queda definida de la siguiente forma:

\[Kv=\lim_{s \rightarrow 0} sG(s)\]

Esta constante describe la capacidad de un sistema con retroalimentaci贸n para reducir o eliminar el error de velocidad en el estado estable.
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Constante del error de aceleraci贸n (par谩bola) $K_a$

Cuando la entrada es una par谩bola.

\[c(t)=\dfrac{1}{2}t^2\]

Se obtiene su transformada de Laplace.

\[C(s)=\dfrac{1}{s^3}\]

Aplicando la expresi贸n del error:

\[\begin{aligned} e_{\infty}&= \lim_{s \rightarrow 0} \dfrac{s\dfrac{1}{s^3}}{1 + G(s)}\\ &= \lim_{s \rightarrow 0} \dfrac{1}{s^2[1 + G(s)]}\\ &= \lim_{s \rightarrow 0} \dfrac{1}{s^2 + s^2G(s)}\\ &= \lim_{s \rightarrow 0} \dfrac{1}{s^2 + Ka}\\ &= \dfrac{1}{Ka}\\ \end{aligned}\]

Por lo que, $Ka$ queda definida de la siguiente forma:

\[Ka=\lim_{s \rightarrow 0} s^2G(s)\]

Esta constante describe la capacidad de un sistema con retroalimentaci贸n para reducir o eliminar el error de aceleraci贸n en el estado estable.

Relaci贸n del TIPO de sistema y los errores

Esto se puede ver, analizando el error para los diferentes tipos de sistema:

Error de posici贸n Error de velocidad Error de aceleraci贸n
Sistema TIPO 0 $\dfrac{1}{1+K}$ $\infty$ $\infty$
Sistema TIPO 1 0 $\dfrac{1}{K}$ $\infty$
Sistema TIPO 2 0 0 $\dfrac{1}{K}$

Por lo general s贸lo se analiza hasta sistemas de tipo 3, porque la estabilidad suele ser muy mala para sistemas de tipo mayor.

Incremento del TIPO de sistema

Para incrementar el tipo de sistema se debe utilizar un integrador:
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Por ejemplo, tratandose de sistemas electr贸nicos anal贸gicos, se pueden utilizar dos aplificadores operacionales, uno en configuraci贸n integrador inversor y otro en inversor:
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\[\dfrac{U(s)}{E(s)}=\left(-\dfrac{1}{RCs}\right)\left(-\dfrac{R_x}{R _x}\right)=\dfrac{ \frac{1}{RC} }{s}\]