Compensadores
Los compensadores son usados para moldear el sistema y alcanzar los requisitos que el sistema debe cumplir.
Los compensadores m谩s comunes son los compensadores en serie (fig a) y en paralelo (fig b).
Los compensadores serie son los m谩s f谩ciles de dise帽ar, sin embargo, son los que requieren m谩s componentes y por lo tanto son m谩s costosos. Por lo que los compensadores en paralelo tambi茅n son muy usados.
En la pr谩ctica, compensar el sistema se trata de dise帽ar un conjunto de compensadores en serie y en paralelo.
Efectos de la adici贸n de polos
La adici贸n de un polo a la funci贸n de transferencia de lazo abierto, tiene el efecto de jalar el LGR a la derecha, tendiendo a disminuir la estabilidad relativa del sistema y hacer m谩s lento el asentamiento de la respuesta.
Efectos de la adici贸n de ceros
La adici贸n de un cero a la funci贸n de transferencia de lazo cerrado, tiene el efecto de jalar el LGR a la izquierda, tendiendo a aumentar la estabilidad relativa del sistema y acelerar el establecimiento de la respuesta.
F铆sicamente, la adici贸n de un cero en la funci贸n de transferencia de lazo abierto, significa la adici贸n de control derivativo al sistema.
Compensadores en serie
Los compensadores en serie m谩s com煤nes son el compensador de adelanto y de retraso.
Para un sistema con funci贸n de transferencia:
Compensador de adelanto
Se utilizan cu谩ndo el sistema presenta caracter铆sticas de respuesta en el estado estacionario no satisfactorias.
Los pasos para el dise帽o de un compensador de adelanto son los siguientes:
1. De las especificaciones de dise帽o determinar la localizaci贸n deseada para los polos dominantes de lazo cerrado.
2. Dibujando el LGR, determinar si cambiando la ganancia s贸lamente, es posible conseguir los polos deseados. Si no, calcular la deficiencia de 谩ngulo $\phi$.
3. Asumir que el compensador de adelanto $G_c(s)$ es:
Donde $\alpha$ y $T$ se determinan a partir del 谩ngulo de deficiencia $\phi$. Y $K_c$ se determina a partir de la ganancia en lazo abierto requerida.
4. Si no se especifican las constantes de error est谩tico, determinar la localizaci贸n del polo y cero para compensar el 谩ngulo de deficiencia $\phi$. Si no se imponen otros requisitos del sistema, procurar que $\alpha$ sea lo m谩s acercada a 1, pues implica un valor mayor de $K_v$:
5. Determine el valor de la $K_c$ del compensador de adelanto a partir de la condici贸n de la magnitud.
Ejemplo
Considere el sistema de control con la siguiente funci贸n de transferencia de lazo abierto:
\[G(s) = \dfrac{10}{s(s+1)}\]Su funci贸n de transferencia en lazo cerrado es:
\[\begin{aligned} \dfrac{C(s)}{R(s)} &= \dfrac{10}{s^2 + s + 10}\\ &= \dfrac{10}{(s + 0.5 + j3.1225)(s + 0.5 - j3.1225)} \end{aligned}\]Se dibuja el LGR.
1. Localizaci贸n de polos
Los polos de lazo cerrado est谩n localizados en:
\[s + -0.5 \pm j3.1225\]El coeficiente de amortiguamiento es de $\xi=\frac{1/2}{\sqrt{10}} = 0.1581$ y su frecuencia natura de $\omega=\sqrt{10}=3.1623 \frac{rad}{s}$. Ya que el factor de amortiguamiento es bajo, tardar谩 m谩s tiempo en estabilizarse y no conviene eso. Se requiere que el factor de amortiguamiento sea de $\xi=0.5$ y la frecuenc铆a 谩ngular natural de $\omega=3\frac{rad}{s}$.
Se calculan los polos deseados:
\[\begin{aligned} s^2 + 2\xi\omega_n s + \omega_n^2 &= s^2 + 3s + 9\\ &=(s+1.5+j2.5981)(s+1.5-j2.5981) \end{aligned}\\ \phantom{s}\\ s = -1.5 \pm j2.5981\]2. 脕ngulo de deficiencia $\phi$
Se calcula el 谩ngulo de deficiencia $\phi$.
El 谩ngulo del polo de lazo abierto en el origen ($s=0$) a el polo de lazo cerrado deseado es de $120\degree$ y el 谩ngulo del polo en $s=1$ a el polo de lazo cerrado deseado es de $100.894\degree$. Por lo tanto, el 谩ngulo de deficiencia $\phi$, es:
Y eso debe contribuir el compensador de adelanto.
3. Forma del compensador
Ahora se asume que el compensador tiene la siguiente forma:
\[G_c(s) = K_c\alpha\dfrac{Ts+1}{\alpha Ts+1} = K_c\dfrac{s+\dfrac{1}{T}}{s+\dfrac{1}{\alpha T}}\qquad (0\lt\alpha\lt1)\]4. Determinar polo y zero de compensaci贸n
Hay muchas formas de determinar un polo y zero que cumplan con el 谩ngulo de deficiencia. A continuaci贸n se mestran 2 m茅todos.
M茅todo 1
El primer m茅todo es el que busca la $\alpha$ m谩xima y por lo tanto la que implica mayor $K_v$.
Implica dibujar una l铆nea horizontal cruzando por el polo deseado $P$ y una l铆nea de $P$ al origen. Luego el polo y cero se encontrar谩n a $\frac{\phi}{2}$ de la bisecci贸n entre est谩s d贸s l铆enas, como se muestra a continuaci贸n:
Siguiendo este m茅todo, se tiene que la bisecci贸n est谩 a $60\degree$ comenzando del segmento $PA$ y por lo tanto, el zero y polo est谩n a $60潞 \pm 40.984潞$ respectivamente. Por lo tanto:
M茅todo 2
Se escoge el cero del compensador en $s=-1$ para que se cancele el polo de la planta en $s=-1$, as铆, el polo del compensador debe localizarse en $s=-3$.
5. Determinar el valor de $K_c$
Se determina a partir de la condici贸n de magnitud:
\[\left|G_c(s)G(s)\right|_{s=P} = 1\]Para el m茅todo 1:
\[\left|K_c \dfrac{s+1.9432}{s+4.6458}\dfrac{10}{s(s+1)}\right|_{s=-1.5+j2.5981} = 1\] \[K_c=\left|\dfrac{s+4.6458}{s+1.9432}\dfrac{s(s+1)}{10}\right|_{s=-1.5+j2.5981} = 1.2287\]Para el m茅todo 2:
\[\begin{aligned} K_c&=\left|\dfrac{s+3}{s+1}\dfrac{s(s+1)}{10}\right|_{s=-1.5+j2.5981}\\ &= \left|\dfrac{s(s+3)}{10}\right|_{s=-1.5+j2.5981}\\ &= 0.9 \end{aligned}\]A continuaci贸n se realiza una comparaci贸n de ambos m茅todos:
Compensador de retraso
Se utilizan cu谩ndo el sistema presenta caracter铆sticas de respuesta en el estado estacionario no satisfactorias. Este compensador busca no cambiar mucho la respuesta en transitorio pero s铆 aumentar la ganancia tanto como se pueda. Para esto, el 谩ngulo de contribuci贸n del compensador de retraso no debe ser mayor a 5潞 por ejemplo (depende de la aplicaci贸n). Esto se logra posicionando el polo y zero del compensador muy cercanos entr茅 si y cercanos al origen.
Los pasos para el dise帽o de un compensador de adelanto son los siguientes:
1. Dibujar el LGR en el plano $s$ y localizar los polos de lazo cerrado.
2. Asumir que la funci贸n de transferencia del compensador es:
3. Eval煤e la constante de error est谩tico especificada en el problema.
4. Determine el incremento necesario en la constante de error est谩tico para satisfacer las especificaciones.
5. Determine el polo y el cero del compensador de retardo que producen el incremento necesario en la constante de error est谩tico sin modificar apreciablemente el LGR. (Observe que la raz贸n entre el valor de la ganancia requerido en las especificaciones y la ganancia que se encuentra en el sistema no compensado es la raz贸n entre la distancia del cero al origen y la del polo al origen.)
6. Dibuje una nueva gr谩fica del LGR para el sistema compensado. Localice los polos dominantes de lazo cerrado deseados sobre el LGR y verificar que el cambio sea m铆nimo.
7. Ajuste la ganancia $\hat{K_c}$ del compensador a partir de la condici贸n de magnitud, para que los polos dominantes en lazo cerrado se encuentren en la localizaci贸n deseada ($\hat{K_c}$ ser谩 aproximadamente 1).
Ejemplo
Considerando el sistema con la funci贸n de transferencia de lazo abierto:
\[G(s) = \dfrac{1.06}{s(s+1)(s+2)}\]1. Localizaci贸n de polos
Su funci贸n de transferencia de lazo cerrado:
\[\begin{aligned} \dfrac{C(s)}{R(s)} &= \dfrac{1.06}{s(s+1)(s+2)+1.06}\\ &= \dfrac{1.06}{(s+0.3307-j0.5864)(s+0.3307+j0.5864)(s+2.3386)} \end{aligned}\]Por lo que los polos dominantes son:
\[s = -0.3307 \pm j0.5864\]3. Evaluar el error est谩tico
El coeficiente de amortiguamiento es $\xi=0.491$. La frecuencia angular natural de el sistema es $\omega_n = 0.673\frac{rad}{s}$. El error est谩tico de velocidad es $K_v = 0.53 s^{-1}$
4. Determinar incremento necesario
Se requiere hacer $K_v = 0.5 s^{-1}$ sin cambiar de forma apreciable el LGR de los polos dominantes de lazo cerrado.
5. Determinar polo y cero del compensador
Se prueba un compensador de retraso para incrementar el $K_v$ en un factor de 10. Para esto se elige $\beta = 10$ y se localiza el cero y polo en $s = -0.05$ y $s = 0.005$ respectivamente para estar cercanos al 0. Quedando as铆 la funci贸n de transferencia del compensador de retraso:
\[G(s) = \hat{K_c}\dfrac{s + 0.05}{s + 0.005}\]6. Verificar que el cambio sea m铆nimo
Ahora se calcula el 谩ngulo de contribuci贸n:
\[{\huge\angle}\dfrac{-0.3307 + j0.5864 + 0.05}{-0.3307 + j0.5864 + 0.005} = -3.47\degree\]Es menor a $4\degree$.
7. Calcular $K_c$ con condici贸n de magnitud
Ahora se calcula $K_c$, considerando el nuevo coeficiente de amortiguamiento:
\[s = -0.31 \pm j0.55\] \[\begin{aligned} K_c &= \left|\dfrac{s(s+0.005)(s+1)(s+2)}{1.06(s+0.05)}\right|_{s=-0.31+j0.55}\\ &= 0.9656 \end{aligned}\]Se observa el error est谩tico:
Se obtiene la siguiente respuesta:
Compensador de retraso-adelanto
El compensador de retraso-adelanto, acelera la respuesta e incrementa la estabilidad del sistema.
Se utiliza cu谩ndo ambas, la respuesta transitoria y estacionaria necesitan ser mejoradas.
Ya que este compensador a帽ade 2 polos y 2 zeros, incrementa el orden del sistema en 2 贸rdenes. A menos que exista una cancelaci贸n de polos y ceros.
Los pasos para dise帽ar un compensador de retraso-adelanto son:
0. Considerando la forma del compensador de retraso-adelanto como:
\[G_c(s) = K_c\dfrac{\beta}{\gamma}\dfrac{(T_1s+1)(T_2s+1)}{\left(\dfrac{T_1}{\gamma}s+1\right)(\beta T_2s+1)} = K_c\left(\dfrac{s+\dfrac{1}{T_1}}{s+\dfrac{\gamma}{T_1}}\right)\left(\dfrac{s+\dfrac{1}{T_2}}{s+\dfrac{1}{\beta T_2}}\right)\]Donde: $\beta > 1$ y $\gamma > 1$ y considerando $K_c$ como de la porci贸n del compensador de adelanto.
Caso 1 $\beta\neq\gamma$
1. A partir de las especificaciones de dise帽o dadas, determinar la localizaci贸n deseada para los polos dominantes en lazo cerrado.
2. Utilizar la funci贸n de transferencia en lazo abierto sin compensar $G(s)$, para determinar la deficiencia de 谩ngulo $\phi$ si los polos dominantes en lazo cerrado estuviesen en la posici贸n deseada. La parte de adelanto de fase del compensador de retardo-adelanto debe contribuir a este 谩ngulo.
3. Suponiendo que despu茅s selecciona un T2 suficientemente grande para que la magnitud de la parte de retardo sea aproximadamente $1$
, donde $s=s_1$ es uno de los polos dominantes de lazo cerrado, elegir los valores $T_1$ y $\gamma$ que:
\[{\huge\angle}\dfrac{s_1+\dfrac{1}{T_1}}{s_1+\dfrac{\gamma}{T_1}} = \phi\]Los valores que satisfacen eso, no son 煤nicos.
Luego, determina el valor de $K_c$ a partir de la condici贸n de magnitud.
4. Si se especifica la constante de error est谩tico de velocidad $K_v$, determinar el valor de $\beta$ necesario.
\[\begin{aligned} K_v &= \lim_{s\rightarrow0} sG_c(s)G(s)\\ &= \lim_{s\rightarrow0} sK_c\left(\dfrac{s+\dfrac{1}{T_1}}{s+\dfrac{\gamma}{T_1}}\right)\left(\dfrac{s+\dfrac{1}{T_2}}{s+\dfrac{1}{\beta T_2}}\right)G(s)\\ & = \lim_{s\rightarrow0} sK_c\dfrac{\beta}{\gamma}G(s) \end{aligned}\]Luego, utilizando un valor de $\beta$, seleccionar un valor de $T_2$ tal que:
\[\left|\dfrac{s_1+\dfrac{1}{T_2}}{s_1+\dfrac{1}{\beta T_2}}\right| \approx 1\] \[-5\degree<{\huge\angle}\dfrac{s_1+\dfrac{1}{T_2}}{s_1+\dfrac{1}{\beta T_2}} < 0\degree\]Caso 2 $\beta=\gamma$
1. A partir de las especificaciones de dise帽o dadas, determinar la localizaci贸n deseada para los polos dominantes en lazo cerrado.
2. La forma del compensador de retraso-adelanto se vuelve:
Con $\beta > 1$
3. Para obtener los polos de lazo cerrado en la posici贸n deseada, calcular el 谩ngulo de contribuci贸n $\phi$ que debe aportar la parte de adelanto.
4. Elegir $T_2$ lo suficientemente grande para que:
Determinar los valores $T_1$ y $\beta$ de las condiciones de magnitud y 谩ngulo.
\[\left|K_c\dfrac{s_1+\dfrac{1}{T_1}}{s_1+\dfrac{\beta}{T_1}}G(s_1)\right| = 1\] \[{\huge\angle}\dfrac{s_1+\dfrac{1}{T_1}}{s_1+\dfrac{\beta}{T_1}} = \phi\]5. Usando el valor de $\beta$, elegir $T_2$ tal qu茅:
\[\left|\dfrac{s_1+\dfrac{1}{T_2}}{s_1+\dfrac{1}{\beta T_2}}\right| \approx 1\] \[-5\degree<{\huge\angle}\dfrac{s_1+\dfrac{1}{T_2}}{s_1+\dfrac{1}{\beta T_2}} < 0\degree\]El valor de $\beta T_2$, no debe ser tan grande como para no poder implementarlo f铆sicamente.