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Control PID

Ley de control b谩sica

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\[\begin{aligned} u(t)&=K\left[e(t)+\dfrac{1}{T_i}\int e(t)dt + T_d\dfrac{de(t)}{dt}\right]\\\\ u(t)&=Ke(t)+K_i\int e(t)dt + K_d\dfrac{de(t)}{dt}\\ \end{aligned}\]

Proporcional (P)

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\[u(t) = Ke(t)\] \[\dfrac{U(s)}{E(s)}=K\]

Ejemplo

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Estacionario

Para analizar el estado estacionario, se analiza la funci贸n de transferencia de lazo abierto:

\[G(s)=\dfrac{K}{Ts + 1}=\dfrac{K/T}{s + 1/T}\]

Se puede concluir:

Transitorio

Se analiza entonces la funci贸n de transferencia en lazo cerrado para estudiar el transitorio:

\[\dfrac{C(s)}{R(s)}=\dfrac{K/T}{s+\dfrac{1}{T}+\dfrac{K}{T}}=\dfrac{K/T}{s+\dfrac{K+1}{T}}\]

Y se concluye lo siguiente:

\[u(t)=Ke(t)+K_i\int e(t)d\] \[\dfrac{U(s)}{E(s)}=K + \dfrac{K_i}{s} = \dfrac{Ks+K_i}{s}\]

Ejemplo

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Estacionario

Para analizar el estado estacionario, se analiza la funci贸n de transferencia de lazo abierto:

\[G(s)=\dfrac{Ks + K_i}{s(Ts + 1)}\]

Se puede concluir:

Transitorio

Se analiza ahora el transitorio:

\[\dfrac{C(s)}{R(s)}=\dfrac{\dfrac{1}{T}(Ks+K_i)}{s^2+\dfrac{K+1}{T}s+\dfrac{K_i}{T}}\]

Por lo que la parte integral disminuy贸 el error y aument贸 la exactitud.

El problema que tiene este sistema es que ahora el sistema puede llegar a oscilar.

Proporcional Derivativo (PD)

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\[u(t)=Ke(t)+K_d\dfrac{de(t)}{dt}\] \[\dfrac{U(s)}{E(s)}=K + K_d\]

Ejemplo

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Para este mismo sistema en el transitorio, si se tuviera s贸lo un control proporcional, una funci贸n de lazo cerrado de la siguiente forma:

\[\dfrac{C(s)}{R(s)}=\dfrac{K}{s^2+K}\]

Lo que tendr铆a una respuesta oscilatoria, pues no hay t茅rmino disipativo.

Estacionario

\[G(s)=\dfrac{K+K_d s}{s^2}\]

Transitorio

Para el estado transitorio

\[\dfrac{C(s)}{R(s)}=\dfrac{K+K_d s}{s^2+K_d s +K}\]

Se agrega entonces el t茅rmino disipativo al sistema, o sea amortiguamiento.

Proporcional Integral Derivativo (PID)

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\[u(t)=Ke(t)+K_i\int e(t)dt + K_d\dfrac{de(t)}{dt}\\\] \[\dfrac{U(s)}{E(s)}=K + \dfrac{K_i}{s} + K_d s = \dfrac{K_ds^2+Ks+K_i}{s}\]

No siempre es necesario utilizar el control PID, depende de cada sistema y sus requerimientos.

Implementaci贸n

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Para evitar el ruido de alta frecuencia en el derivador por lo general se ocupa un filtro pasabajas antes del bloque de derivaci贸n.

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Se puede ver de la siguiente manera:
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Sintonizaci贸n

Al proceso de determinar los valores 贸ptimos para las constantes $K$, $K_d$ y $K_i$ se le conoce como sintonizaci贸n.

Existen muchos m茅todos:

Ubicaci贸n de polos

Ejemplo 1

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Ahora evaluando el $e_{ss}$:
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Por lo que el Control P parece ser suficiente para este caso.
Al ver el resultado se puede ver que existe un peque帽o error en el $M_p$
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Ese se da porque en realidad al utilizar el control proporcional, la funci贸n var铆a un poco de la funci贸n general:
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Ejemplo 2

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Ahora se miden los resultados y luego se proceder铆a a hacer ajustes manuales.
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Pero en este caso no es necesario.

Ejemplo 3

Este caso es parecido al anterior, pero no se cumple el $e_{ss}$. Por lo que se coloca un PID para poder cumplir.

Pero como se aument贸 el grado del polinomio, tambi茅n se requiri贸 agregar un polo para poder obtener un polinomio de grado 3 y poder comparar.
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Para determinar el valor del nuevo polo, se requiere evaluar varios para ver cu谩l es el mejor.
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Reglas de Ziegler - Nichols de Sintonizaci贸n

Cuando se obtiene el m贸delo matem谩tico de un sistema, es m谩s sencillo y hay muchas m谩s opciones para sintonizar los controles PID.

Sin embargo, si obtener dicho modelo es imposible o demasiado laborioso. Se deben recurrir a t茅cnicas de sintonizaci贸n para PIDs experimentales. De hecho es posible aplicar estos m茅todos uncluso cuando s铆 se conoce su modelo matem谩tico.

Las Reglas de Ziegler - Nichols, nos permiten obtener los valores para $K_p$, $T_d$ y $T_i$ (como aparecen en el sistema de abajo) de forma experimental. Estas reglas son un m茅todo iterativo y normalmente no dan los valores adecuados al primer intento.

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$T_i$ es el tiempo de integraci贸n, que se define de la siguiente manera:

\[T_i = \dfrac{K_p}{K_i}\]

$T_d$ es el tiempo de derivaci贸n y se define de la siguiente manera:

\[T_d = \dfrac{K_d}{K_p}\]

Existen dos m茅todos para calcular los valores utilzando estas reglas.

M茅todo 1

Consiste en llevar a cabo los siguientes pasos:

  1. Obtener la respuesta del sistema al escal贸n unitario.
  2. Si la planta no tiene integradores ni polos complejos conjugados dominantes. Probablemente tenga una respuesta curveada como una S.
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  3. Caracterizar la curva con las constantes tiempo de retardo $L$ y la constante de tiempo $T$.
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  4. Calcular los valores seg煤nlla siguiente tabla
Tipo de controlador Kp Ti Td
$P$ $\dfrac{T}{L}$ $\infty$ 0
$PI$ $0.9\dfrac{T}{L}$ $\dfrac{L}{0.3}$ 0
$PID$ $1.2\dfrac{T}{L}$ $2L$ $0.5L$

Estos valores resultan de aproximar el valor de la funci贸n de transferencia como la de un sistema de primer 贸rden con retraso de transporte:

\[\dfrac{C(s)}{U(s)} = \dfrac{K e^{-Ls}}{Ts+1}\]

M茅todo 2

En el segundo m茅todo, se siguien los siguientes pasos:

  1. Se considera $T_i = \infty$ y $T_d = 0$:
\[K_p (1 + \cancel{\dfrac{1}{T_i s}} + \cancel{T_d} s) = K_p\]
  1. Se encuantra una constante de proporcionalidad cr铆tica $K_{cr}$, variando $K_p$ de 0 a $K_{cr}$ para la cual se obtinen respuestas oscilatorias por primera vez (si no se obtienen respuestas oscilatorias, no aplica este m茅todo).
  2. Obtener el per铆odo cr铆tico en la respuesta con cierta $K_{cr}$.
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  3. Determinar los valores de $K_p$, $T_d$ y $T_i$ seg煤n la siguiente tabla.
Tipo de controlador Kp Ti Td
$P$ $0.5K_{cr}$ $\infty$ 0
$PI$ $0.45K_{cr}$ $\dfrac{1}{1.2}P_{cr}$ 0
$PID$ $0.6K_{cr}$ $0.5P_{cr}$ $0.125P_{cr}$