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Modelado de sistemas

Sistemas lineales

Para encontrar el modelo matem谩tico de un sistema, se necesitan encontrar lo siguiente:

  1. Ecuaci贸n de movimiento de Euler-Lagrange.
  2. Ecuaci贸n de movimiento usando variables de estado.
  3. Funci贸n de transferencia $Y(s)/U(s)$.

Ecuaci贸n de movimiento de Euler-Lagrange

\[\newcommand{\dpartial}[2]{\dfrac{\partial#1}{\partial#2}} \newcommand{\derivate}[2]{\dfrac{d#1}{d#2}} \dpartial{}{}\left(\dpartial{L}{\dot{q}}\right) -\dpartial{L}{q}+\dpartial{D}{\dot{q}}=Q\]

Donde:

\[\begin{aligned} L&=T-V\\ D&=\dfrac{1}{2}b\dot{x}\quad\leftarrow\text{para amortiguadores} \end{aligned}\]

$T$ es la energ铆a cin茅tica.
$U$ es la energ铆a potencial.
$D$ es la funci贸n de disipaci贸n de Rayleigh.

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Supongamos un sistema resorte amortiguador, despu茅s de aplicar E-L, se obtiene la siguiente expresi贸n:

\[m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=F\]

Ecuaci贸n de movimiento de variables de estado

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Para eso los pasos a seguir son los siguientes:

  1. Asignaci贸n de variables de estado.
\[\begin{aligned} x_1&=x\\ x_2&=\dot{x}\\ \end{aligned}\]
  1. Asignaci贸n de las entradas y salidas
\[\begin{aligned} u&=F\\ y&=x_1\\ \end{aligned}\]
  1. Forma matricial

De la forma general:

\[m\dot{x_2}+bx_2+kx_1=u\]

Se obtienen las ecuaciones:

\[\begin{aligned} \dot{x_1}&=\dot{x}=x_2\\ \dot{x_2}&=-\dfrac{k}{m}x_1-\dfrac{b}{m}x_2+\dfrac{1}{m}u\\ y&=x_1 \end{aligned}\]

Ahora se pasa a forma matricial:

\[\newcommand{\matrix}[4]{\begin{bmatrix} #1 & #2 \\ #3 & #4 \end{bmatrix}} \newcommand{\vector}[2]{\left[\begin{array}{c} #1 \\ #2 \end{array}\right]} \begin{aligned} \vector{\dot{x_1}}{\dot{x_2}}&=\matrix{1}{0}{-\frac{k}{m}}{-\frac{b}{m}}\vector{x_1}{x_2}+\vector{0}{\frac{1}{m}}u\\ y&=\left[1\quad0\right]\vector{x_1}{x_2} \end{aligned}\]

Funci贸n de transferencia

Se puede obtener a partir de la fomra de Euler-Lagrange, Variables de estado o forma Matricial.

Se aplica la transformada de Laplace y se lleva a la forma $\dfrac{Y(s)}{U(s)}$.

Por Euler-Lagrange

\[m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=F\]

Se aplican las transformadas de Laplace:

\[ms^2X(s)+bsX(s)+kX(s)=\mathcal{F(s)}\]

Se lleva a la forma:

\[\dfrac{X(s)}{\mathcal{F}(s)}=\dfrac{1}{ms^2+bs+k}\]

Por variables de estado

\[\begin{aligned} \dot{x_1}&=\dot{x}=x_2\\ \dot{x_2}&=-\dfrac{k}{m}x_1-\dfrac{b}{m}x_2+\dfrac{1}{m}u\\ y&=x_1 \end{aligned}\]

Se aplica la transformada de Laplace:

\[\begin{aligned} sX_1(s)&=X_2(s)\\ sX_2(s)(s)&=-\dfrac{k}{m}X_1(s)-\dfrac{b}{m}X_2(s)+\dfrac{1}{u}\\ Y(s)&=X_1(s) \end{aligned}\]

Desarrollando se llega al mismo resultado.

Por la forma matricial

Existe una f贸rmula general para obtener la funci贸n de transferencia aplicando las operaciones matriciales correspondientes a partir de la siguiente forma:

\[\begin{aligned} \dot{x}&=Ax+Bu\\ y&=Cx \end{aligned}\]

Se aplica la siguiente f贸rmula:

\[\dfrac{Y(s)}{U(s)}=C(sI-A)^{-1}B\]

Sistemas no lineales

Para algunos sistemas, sus ecuaciones resultan ser no lineales y por lo tanto se requiere un paso extra para modelar el sistema:

  1. Ecuaci贸n de movimiento de Euler-Lagrange.
  2. Ecuaci贸n de movimiento usando variables de estado no lineal.
  3. Linealizar
    1. Determinar los puntos de equilibrio
    2. Linealizar alrededor de los puntos de equilibrio encontrados.
  4. Funci贸n de transferencia Y(s)/U(s).

Ecuaci贸n de movimiento de Euler-Lagrange

Tomando en cuenta el caso de un pendulo simple con fricc贸n:
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Se obtiene la ecuaci贸n:

\[mL^2\ddot{\theta}+mgL\sin{\theta}+b\dot{\theta}=\tau\]

Se aprecia que es un sistema no lineal debido a la expresi贸n $\sin{\theta}$.

Ecuaciones de movimiento en variables de estado.

  1. Asignaci贸n de variables de estado.
\[\begin{aligned} x_1&=\theta\\ x_2&=\dot{\theta}\\ \end{aligned}\]
  1. Asignaci贸n de las entradas y salidas
\[\begin{aligned} u&=\tau\\ y&=x_1\\ \end{aligned}\]
  1. Forma matricial

De la forma general:

\[mL^2\dot{x_2}+mgL\sin{x_1}+bx_2=u\]

Se obtienen las ecuaciones:

\[\begin{aligned} \dot{x_1}&=\dot{\theta}=x_2\\ \dot{x_2}&=-\dfrac{g}{L}\sin{x_1}-\dfrac{b}{mL^2}x_2+\dfrac{1}{mL^2}u\\ y&=x_1 \end{aligned}\]

Linealizaci贸n

Se busca representar un sistema de ecuaciones de forma linealizada.

\[\begin{aligned} \dot{x}&=f(x)+g(x)u\\ y&=h(x) \end{aligned}\quad\Rightarrow\quad \begin{aligned} \Delta\dot{x}&=\Delta A(x)+Bu\\ y&=C\Delta x \end{aligned}\]

Donde:

\[\newcommand{\dpartial}[2]{\dfrac{\partial#1}{\partial#2}} A=\begin{bmatrix} \dpartial{f_1}{x_1}&\dpartial{f_1}{x_2}&\ldots\\ \\ \dpartial{f_1}{x_1}&\dpartial{f_2}{x_2}&\ldots\\ \vdots&\vdots \end{bmatrix}_{\large{x_0}}\] \[B=\left.g(x)\right|_{x_0}\] \[\newcommand{\dpartial}[2]{\dfrac{\partial#1}{\partial#2}} C=\begin{bmatrix} \dpartial{h}{x_1}&\dpartial{h}{x_2}&\ldots \end{bmatrix}_{\large{x_0}}\]

Esto se hace primeramente mediante un cambio de variable:

\[\Delta x=x-x_0\]

Donde:
$\Delta x$= La nueva variable linealizada.
$x$= La nueva variable anterior.
$x_0$= El punto de equilibrio.

Puntos de equilibrio

Se hace la entrada y velocidades del sistema sean igual a cero.

\[\begin{aligned} u&=0\\ \dot{x}&=0 \end{aligned}\]

Por lo tanto:

\[\begin{aligned} 0&=f(x)+g(x)0\\ f(x)&=0\quad\rightarrow\quad x_1,\ x_2,\ \text{etc}. \end{aligned}\]

Los puntos cr铆ticos son los estados del sistema que cumplen con la condici贸n anterior.

Ejemplo

Puntos de equilibrio

\[\begin{aligned} f_1(x)=\dot{x_1}&=\dot{\theta}=x_2\\ f_2(x)=\dot{x_2}&=-\dfrac{g}{L}\sin{x_1}-\dfrac{b}{mL^2}x_2+\dfrac{1}{mL^2}u\\ y&=x_1 \end{aligned}\]

Siguiendo con el ejemplo del p茅ndulo simple, primero se encuentran los puntod de equilibrio.

\[\begin{aligned} 0&=x_2\\ 0&=-\dfrac{g}{L}\sin{x_1} \end{aligned}\]

Por lo tanto, los puntos de equilibrio ser谩n:

\[\begin{aligned} x_1&=n\pi;\quad n=0,1,2,\ldots\\ x_2&=0 \end{aligned}\]

Analizando el sistema, los puntos de equilibrio son:
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En realidad f铆sicamente, s贸lo hay 2 puntos de equilibrio.

Linealizaci贸n

Primero se realizan los cambios de variable.

\[\Delta x_1=x_1-x_{10}\\ \Delta x_2=x_2-x_{20}\]

Ahora se obtienen las derivadas parciales de la matriz $A$.

\[\newcommand{\dpartial}[2]{\dfrac{\partial#1}{\partial#2}} \begin{alignedat}{2} \dpartial{f_1}{x_1}&=0&\quad\dpartial{f_1}{x_2}&=1\\ \\ \dpartial{f_2}{x_1}&=-\dfrac{g}{L}\cos{x_1}&\quad\dpartial{f_2}{x_2}&=-\dfrac{b}{mL^2} \end{alignedat}\]

Se obtienen las componentes $B$ y $C$.

\[\newcommand{\dpartial}[2]{\dfrac{\partial#1}{\partial#2}} B=\begin{bmatrix}0\\\\\frac{1}{mL^2}\end{bmatrix}\quad C=\begin{bmatrix}\dpartial{h}{x_1}=1&&\dpartial{h}{x_1}=0\end{bmatrix}\]

Se escriben las ecuaciones matricialmente.

\[\newcommand{\matrix}[4]{\begin{bmatrix} #1 & #2 \\ #3 & #4 \end{bmatrix}} \newcommand{\vector}[2]{\left[\begin{array}{c} #1 \\ #2 \end{array}\right]} \begin{aligned} \vector{\Delta\dot{x_1}}{\Delta\dot{x_2}}&=\matrix{0}{1}{-\frac{g}{L}\cos{x_1}}{-\frac{b}{mL^2}}\vector{\Delta x_1}{\Delta x_2}+\vector{0}{\frac{1}{mL^2}}u\\ y&=\left[1\quad0\right]\vector{\Delta x_1}{\Delta x_2} \end{aligned}\]

Evaluando ahora en el punto de equilibrio inferior:

\[x_1=0;\quad x_2=0\\\] \[\newcommand{\matrix}[4]{\begin{bmatrix} #1 & #2 \\ #3 & #4 \end{bmatrix}} \newcommand{\vector}[2]{\left[\begin{array}{c} #1 \\ #2 \end{array}\right]} \begin{aligned} \vector{\Delta\dot{x_1}}{\Delta\dot{x_2}}&=\matrix{0}{1}{-\frac{g}{L}}{-\frac{b}{mL^2}}\vector{\Delta x_1}{\Delta x_2}+\vector{0}{\frac{1}{mL^2}}u\\ y&=\left[1\quad0\right]\vector{\Delta x_1}{\Delta x_2} \end{aligned}\]

Evaluando ahora en el punto de equilibrio superior:

\[x_1=\pi;\quad x_2=0\\\] \[\newcommand{\matrix}[4]{\begin{bmatrix} #1 & #2 \\ #3 & #4 \end{bmatrix}} \newcommand{\vector}[2]{\left[\begin{array}{c} #1 \\ #2 \end{array}\right]} \begin{aligned} \vector{\Delta\dot{x_1}}{\Delta\dot{x_2}}&=\matrix{0}{1}{\frac{g}{L}}{-\frac{b}{mL^2}}\vector{\Delta x_1}{\Delta x_2}+\vector{0}{\frac{1}{mL^2}}u\\ y&=\left[1\quad0\right]\vector{\Delta x_1}{\Delta x_2} \end{aligned}\]

Funci贸n de transferencia

Se obtiene la funci贸n de transferencia para ambos puntos cr铆ticos:

\[\begin{aligned} sX_1(s)&=X_2(s)\\ sX_2(s)&=\mp\dfrac{g}{L}X_1(s)-\dfrac{b}{mL^2}X_2(s)+\dfrac{1}{mL^2}U(s)\\ Y(s)&=X_1(s)\\ \end{aligned}\\\]

Sustituyendo:

\[s^2Y(s)=\mp\dfrac{g}{L}Y(s)-\dfrac{b}{mL^2}sY(s)+\dfrac{1}{mL^2}U(s)\\\]

Despejando se obtiene:

\[\begin{aligned} &\dfrac{Y(s)}{U(s)}=\dfrac{\dfrac{1}{mL^2}}{s^2+\dfrac{b}{mL^2}s+\dfrac{g}{L}}\quad &\dfrac{Y(s)}{U(s)}=\dfrac{\dfrac{1}{mL^2}}{s^2+\dfrac{b}{mL^2}s-\dfrac{g}{L}}\\\\ &\text{para}\quad x_1=0,\quad x_2=0;&\text{para}\quad x_1=\pi,\quad x_2=0; \end{aligned}\]

Informaci贸n obtenida de los polos y la linealizaci贸n

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