Circuito de arranque
Para que al arranque los picos de corriente no sean muy elevados, se utiliza un circuito que arranca el motor paulatinamente y no de golpe.
Diseño de arrancadores para motores de c.c.
En $t=0$, $\omega=0$
\[E_{ind} = K\Phi\omega = V_T-R_T I_{máx}\\\] \[\Rightarrow R_T = \dfrac{V_T}{I_{máx}}\]En $t=t_1$, (antes de que el primer interruptor se cierre).
\[E_{ind} = V_T-R_T I_{mín}\\\]En $t=t_1$, (en el momento que se cierra el interruptor).
\[E_{ind} = V_T-(R_T-R_1) I_{máx}\\\]
Igualando:
En $t=t_2$:
\[\begin{cases} E_{ind} = V_T - (R_T-R_1)I_{mín}\\ E_{ind} = V_T - (R_T-R_1-R_2)I_{máx}\\ \end{cases}\\\] \[\Rightarrow \dfrac{R_T-R_1}{R_T-R_1-R_2}=\dfrac{I_{máx}}{I_{mín}}\]Por lo tanto en $t=t_n$:
\[\begin{cases} E_{ind} = V_T - (R_T-R_1-R_2-\ldots-R_{n-1})I_{mín}\\ E_{ind} = V_T - (R_T-R_1-R_2-\ldots-R_{n-1}-R_n)I_{máx}\\ \end{cases}\\\] \[\Rightarrow \dfrac{R_T-R_1-R_2-\ldots-R_{n-1}}{R_T-R_1-R_2-\ldots-R_{n-1}-R_n}=\dfrac{I_{máx}}{I_{mín}}=\dfrac{R_T-R_1-R_2-\ldots-R_{n-1}}{R_A}\]Si multiplicamos todas las relaciones:
\[\newcommand{\p}[1]{\left(#1\right)} \p{\dfrac{R_T}{\cancel{R_T-R_1}}}\p{\dfrac{\cancel{R_T-R_1}}{\cancel{R_T-R_1-R_2}}}\ldots\p{\dfrac{\cancel{R_T-R_1-\ldots-R_{n-1}}}{R_T-R_1-\ldots-R_n}}=\p{\dfrac{I_{máx}}{I_{mín}}}^n\]Por lo tanto
\[\newcommand{\p}[1]{\left(#1\right)} \dfrac{R_T}{R_T-R_1-\ldots-R_n}=\dfrac{R_T}{R_A}=\p{\dfrac{I_{máx}}{I_{mín}}}^n\]Donde $n$ es el número de secciones del arrancador.