Conversi贸n de energ铆a electromec谩nica
Espira giratoria simple entre caras polares curvas
El flujo magn茅tico fluye de la siguiente manera:
Tensi贸n inducida
\[e_{ind}=e_{dc}+e_{bc}+e_{ba}+e_{ad}\]Segmentos ab y cd
Segmentos bc y da
\[\begin{aligned} e_{bc}&=(\vec{v}\times \vec{B})\cdot \vec{l}\\ &= [\pm vB\hat{e}_z]\cdot(l\hat{e}_\phi)\\ &= 0\\ \end{aligned}\]Analogamente pasa lo mismo con el segmento da.
Tensi贸n inducida total
Por lo tanto la tensi贸n inducida total ser谩:
\[\begin{aligned} e_{ind}&=e_{dc}+e_{bc}+e_{ba}+e_{ad}\\ &=vBl+0+vBl+0\\ &=2vBl\\ &=2r\omega Bl\\ &=2r\omega \frac{\Phi}{A}l\\ &=2r\omega \frac{\Phi}{\pi rl}l\\ &=\frac{2}{\pi}\omega \Phi\\ \end{aligned}\]Por lo tanto:
\[e_{ind}=\frac{2}{\pi}\omega \Phi\\\]Donde:
$\Phi$=Flujo que pasa a trav茅s de la espira ($\phi=0$)
La se帽al de salida que genera es la siguiente:
Conversi贸n a tensi贸n de c.d.
Como una manera de lograr eso, s贸lo se ocupa un conmutador.
El conmutador; que son dos segmentos conductores semicirculares, en conjunto con las escobillas; que son contactos fijos separados a un cierto 谩ngulo tal que, en el instante en que la tensi贸n en la espira es cero, los contactos hacen que los dos elementos queden en corto circuito.
De esta manera, cada vez que la tensi贸n cambia de direcci贸n, los contactos tambi茅n cambian de conexi贸n.
Par inducido en la espira giratoria
Supongamos ahora que se conecta una bateria:
Las ecuaciones que se utilizan para analizar cada segmento es la siguiente:
Segmento ab
\[\begin{aligned} \vec{F}_{ab}&=i(l\hat{e}_z\times B\hat{e}_{\rho})\\ &=ilB\hat{e}_{\phi} \end{aligned}\]Por lo tanto
\[\begin{aligned} \vec{\tau}&=r\hat{e}_{\rho}\times ilB\hat{e}_{\phi}\\ &=rilB\hat{e}_{z} \end{aligned}\]Segmento bc y da
\[\begin{aligned} \vec{F}_{bc}&=i(l\hat{e}_{\rho}\times B\hat{e}_{\rho})\\ &=0 \end{aligned}\]Analogamente pasa lo mismo con el segmento da
Segmento cd
\[\begin{aligned} \vec{F}_{ab}&=i(-l\hat{e}_z\times B\hat{e}_{\rho})\\ &=-ilB\hat{e}_{\phi} \end{aligned}\]Por lo tanto
\[\begin{aligned} \vec{\tau}&=(-r\hat{e}_{\rho})\times (-ilB\hat{e}_{\phi})\\ &=rilB\hat{e}_{z} \end{aligned}\]Par total inducido
\[\begin{aligned} \vec{\tau}_{ind}&=\vec{\tau}_{dc}+\vec{\tau}_{bc}+\vec{\tau}_{ba}+\vec{\tau}_{ad}\\ &=rilB\hat{e}_z+0+rilB\hat{e}_z+0\\ &=2rilB\hat{e}_z\\ &=2ril(\dfrac{\phi}{A})\hat{e}_z\\ &=2ril\dfrac{\phi}{\pi r l}\hat{e}_z\\ &=\dfrac{2}{\pi}\phi\ i\ \hat{e}_z\\ \end{aligned}\]Por lo tanto:
\[\vec{\tau}=\dfrac{2}{\pi}\phi\ i\ \hat{e}_z\\\]