Detectabilidad de sistemas lineales
Sea el sistema
\[(1)\begin{cases} \dot{x} &= Ax + Bu\\ y &= Cx \end{cases}\]Si el par $(A,C)$ no es observable, entonces no es posible asignar una dinámica estable a la matriz $(A-LC)$ de manera directa.
\[r = \text{rank}(O_k) < n\]Donde $r$ es el número de vectores fila linealmente independientes de $O_k$
Teorema 2
Sea el sistema $(1)$ tal que
\[\text{rank}(O_k) = \text{rank}(\begin{bmatrix} C\\CA\\CA^2\\\vdots\\CA^{n-1} \end{bmatrix}) = r < n\]Sean $S_1, S_2, \ldots, S_r$ los primeros vectores fila $l.i.$ de $\theta$ y $S_{r+1},S_{r+2},\ldots, S_n$ vectores fila arbitrarios tales que:
\[S = \begin{bmatrix} S_1\\S_2\\\vdots\\S_r\\S_{r+1}\\S_{r+2}\\\vdots\\S_n \end{bmatrix}\]Donde $S$ es invertible, es decir:
\[\det(S)\neq 0\]Entonces la transformación de estado $z = Sx$, ó $x = S^{-1}Z$
\[\dot{x} = Ax + Bu\] \[S(S^{-1}\dot{z} = AS^{-1}z + Bu) = \begin{bmatrix} A_{11} & 0_A\\ A_{21} & A_{22}\\ \end{bmatrix}z + \begin{bmatrix} B_1\\B_2 \end{bmatrix}u\] \[(2)\quad\begin{cases} \dot{z} = SAS^{-1}z + SBu\\ y = Cx = CS^{-1}z = \begin{bmatrix} C_1&0_C \end{bmatrix}z \end{cases}\]Donde:
$A11 : r\times r$
$A_{21}: (n-r)\times r$
$A_{22}:(n-r)\times(n-r)$
$0_A:r\times(n-r)$
$B_1: r\times m$
$B_2: (n-r)\times m$
$C_1: p\times r$
$0_C: p\times (n-r)$
Los sistemas $(1)$ y $(2)$ son similares,
\[\lambda(A) = \lambda(A_{11}) \cup \lambda(A_{22})\]El observador de estado se propone para el sistema $(2)$
\[\begin{aligned} \dot{\hat{z}} &= \begin{bmatrix} A_{11}&0\\ A_{21}&A_{22} \end{bmatrix}\hat{z} + \begin{bmatrix} B_1\\B_2 \end{bmatrix}u + \begin{bmatrix} \bar{L}_1\\\bar{L}_2 \end{bmatrix}(y - [C_1\ \ 0]\hat{z})\\ &= \begin{bmatrix} A_{11}&0\\ A_{21}&A_{22} \end{bmatrix}\hat{z} + \begin{bmatrix} B_1\\B_2 \end{bmatrix}u + \begin{bmatrix} \bar{L}_1\\\bar{L}_2 \end{bmatrix}y - \begin{bmatrix} \bar{L}_1\\\bar{L}_2 \end{bmatrix}[C_1\ \ 0]\hat{z}\\ &= \begin{bmatrix} A_{11}&0\\ A_{21}&A_{22} \end{bmatrix}\hat{z} + \begin{bmatrix} B_1\\B_2 \end{bmatrix}u + \begin{bmatrix} \bar{L}_1\\\bar{L}_2 \end{bmatrix}y - \begin{bmatrix} \bar{L}_1C_1&0\\ \bar{L}_2C_1&0\\ \end{bmatrix}\hat{z}\\ \end{aligned}\]Por lo tanto:
\[\dot{\hat{z}} = \begin{bmatrix} A_{11} - \bar{L}_1C_1& 0\\ A_{21} - \bar{L}_2C_1& A_{22} \end{bmatrix}\hat{z} + \begin{bmatrix} B_1\\B_2 \end{bmatrix}u + \begin{bmatrix} \bar{L}_1\\\bar{L_2} \end{bmatrix}y\]La estabilidad del observador de estado: $\lambda(A_{11} - \bar{L}1C_1) \cup \lambda(A{22})$
El sistema $(1)$ es detectable si todos los valores propios de $A_{22}$ son estables.
El diseño de un observador de estado cuando el par $(A,C)$ no es observable se resuelve como un problema de ubicación de polos para el par $(A_{11}, C_1)$, es decir, a partir de $A_{11}$ y $C_1$ se calcula $\bar{L}_1$.
Para $\bar{L}$
\[\boxed{\bar{L} = \begin{bmatrix} \bar{L}_1\\0 \end{bmatrix}}\]Se tiene el observador de estado $\hat{x} = S^{-1}\hat{z}$
\[\begin{aligned} \dot{\hat{x}} &= A\hat{x} + Bu + L(y-C\hat{x})\\ S^{-1}\dot{z} &= AS^{-1}z + Bu + L(y-CS^{-1}\hat{z})\\ \dot{z} &= SAS^{-1}z + SBu + \underbrace{SL}_{\bar{L}}(y-CS^{-1}\hat{z})\\ \end{aligned}\] \[\bar{L} = SL\] \[\boxed{L = S^{-1}\bar{L}}\]Procedimiento
- Verificar si el sistema es observable
r = rank(Ok) - Formar la matriz $S$
- Calcular $\lambda(A_{22})$
Ejemplo
Sea el sistema
\[\begin{aligned} \dot{x} &= \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 & -4\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2\\ -2 & 1 & 0 & -2 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2\\ \end{bmatrix}x + \begin{bmatrix} 0\\1\\0\\0\\0 \end{bmatrix}u\\ y &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned}\]clc; close all; clear all;
A = [0 -1 0 0 -4
0 0 1 0 1
0 1 0 0 2
-2 1 0 -2 4
0 0 0 0 -2];
B = [0 1 0 0 0]';
C = [1 0 0 0 0];
Ok = obsv(A,C);
r = rank(Ok) % es de rango 4
Por lo tanto se propone S5
S5 = [0 0 0 1 0]';
S = Ok(:,1:4);