Estabilidad de Lyapunov
- Primer método (Método indirecto): Requiere de la solución explícita del sistema dinámico.
- Segundo método (Método directo): No requiere de la solución explícita del sistema dinámico. Se basa en proponer funciones definidas positivas.
Función definida positiva (DP)
Se dice que una función escalar $V(x)$ es definida positiva en una región $\Omega$ si
- $V(x) > 0$ para todo $x \neq 0$
- $V(0) = 0$
Ejercicios: demostrar si las funciones son DP o no.
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$V(x_1,x_2) = (x_1 + x_2)^2$
\[V(x_1,x_2) = (x_1 + x_2)^2 = 0\]
si $x_1 = -x_2$ , $x_2 \neq 0$:Por lo que no es definida positiva.
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$V(x_1,x_2) = x_1^2$
No es porque $x_2$ puede ser 0 para cualquier valor de $V$ -
$V(x_1,x_2) = |x_1+x_2|$
No es por que si $x_1 = -x_2$, $V = 0$ para cualquier valor de $x_2$ -
$V(x_1,x_2) = |x_1| + |x_2|$ $\checkmark$
Sí es porque la única forma de que sea 0, es que $x_1$ y $x_2$ sean cero, para los demás casos seríá positiva.
Matriz definida positiva
\[P > 0\quad,\quad P:n\times n\]Una matriz $P = P^{T}$, es definida positiva si todos sus valores propios son positivos.
Forma cuadrática
Sea $P > 0$ , $P = P^{T}$ , entonces
\[V(x) = x^{T} P x > 0\] \[V(x) = x_1^2 + x_2^2 = [x_1\ \ x_2]\begin{bmatrix} x_1\\x_2 \end{bmatrix} = x^{T} I x > 0\]Desigualdad de Rayleigh
\[0 < \lambda_{min}(P)||x||^2 \leq x^{T}Px \leq \lambda_{max}(P) ||x||^2\]Ejercicios:
- Determinar si la función es DP:
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$V(x_1,x_2,x_3) = x_1^2 + 6x_2^2 + x_3^2 + 4 x_1 x_2 - 8 x_2 x_3 - 2 x_1 x_3$
\[\begin{aligned} &= \left[\begin{array}{c:c:c} x_1 + 2 x_2 -x_3 & 6 x_2 + 2 x_1 - 4 x_3 & x_3 + 4 x_2 -x_1 \end{array}\right]\underbrace{\begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{bmatrix}}_{x}\\ &=\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix}\underbrace{\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1\\ 2 & 6 & -4\\ -1 & -4 & 1\\ \end{bmatrix}}_{P}\begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{bmatrix} \end{aligned}\]Verificando los valores propios de $P$
\[\lambda(P) = \begin{bmatrix} -1.22\\ 0.3697\\ 8.8526 \end{bmatrix}\]P = [1 2 -1 2 6 -4 -1 -4 1]; lambdap = eig(P)Al tener un valor negativo, significa que $V$ NO es DP.
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$V(x_1,x_2,x_3) = x_1^2 + 3 x_2^2 + 11 x_3^2 - 2 x_1 x_2 + 4 x_2 x_3 + 2 x_1 x_3$
\[\begin{aligned} &= \left[\begin{array}{c:c:c} x_1 - 2 x_2 + 2 x_3 & 3 x_2 - x_1 + 2 x_3 & 11 x_3 + 2 x_2 + x_1 \end{array}\right]\underbrace{\begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{bmatrix}}_{x}\\ &=\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix}\underbrace{\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1\\ -1 & 3 & 2\\ 1 & 2 & 11\\ \end{bmatrix}}_{P}\begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{bmatrix} \end{aligned}\]Verificando los valores propios de $P$
\[\lambda(P) = \begin{bmatrix} 0.3007\\ 3.1738\\ 11.5255 \end{bmatrix}\]P = [1 -1 1 -1 3 2 1 2 11]; lambdap = eig(P)Al tener un valor negativo, significa que $V$ NO es DP.
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Determinar el valor de $a$ para que $V(x)$ sea definida positiva.
\[V(x) = a x_1^2 + 2 x_1 x_3 + a x_2^2 + 4 x_2 x_3 + a x_3^2\] \[\begin{aligned} &= \left[\begin{array}{c:c:c} a x_1 + 1 x_3 & a x_2 + 2 x_3 & x_1 + 2 x_2 + a x_3 \end{array}\right]\begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & 0 & 1\\ 0 & a & 2\\ 1 & 2 & a\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{bmatrix} \end{aligned}\]\[\lambda(P) = \begin{bmatrix} a\\ a + \sqrt{5}\\ a - \sqrt{5}\\ \end{bmatrix}\] \[a - \sqrt{5} > 0\quad\Rightarrow\quad \boxed{a > \sqrt{5}}\]syms a; P = [a 0 1 0 a 2 1 2 a]; eig(P)
Teorema (Segundo método de Lyapunov)
Sea el sistema definido por,
\[\dot{x} = f(x,t)\quad,\quad \begin{aligned} x(0) &= x_0\\ f(0,t) &= 0\quad\forall\quad t\geq0 \end{aligned}\]Si existe una función $V(x)$ tal que ,
- $V(x)>0$
- $\dot{V}(x)\vert_{(1)}<0$
Entonces el punto de equilibrio es asintóticamente estable.
Sea el sistema lineal:
\[\dot{x} = Ax\] \[\begin{aligned} \dot{x}^{T} &= (Ax)^{T}\\ &= x^{T}A^{T}\\ \end{aligned}\]Determinar la condición de estabilidad en el sentido de Lyapunov.
Se propone:
\[(2)\quad V(x) = x^{T} P x\quad,\quad P=P^{T}\quad, \quad P>0\]Derivando (2) con respecto al tiempo,
\[\begin{aligned} \dot{V}(x) \vert_{(1)} &= \dot{x}^{T} P x + x^{T} P \dot{x} = x^{T}A^{T}Px + x^{T}PAx\\ &= x^{T}(A^{T}P + PA)x\\ \end{aligned}\]Para que $\dot{V}(x)$ sea negativo:
\[\begin{aligned} \dot{V}(x) = x^{T}\underbrace{(A^{T}P + PA)}_{-Q}x = -x^{T}Qx < 0\quad,\quad Q=Q^{T}\quad,\quad Q>0 \end{aligned}\]Se define:
\[\boxed{A^{T}P + PA = -Q}\quad\text{Ecuación de Lyapunov}\] \[\boxed{A^{T}P + PA + Q = 0}\quad\begin{cases} P = P^{T} & P>0\\ Q = Q^{T} & Q>0\\ \end{cases}\]Por lo general se selecciona $Q = I$.
P = lyap(A',Q)
Ejercicios
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Sea el sistema:
\[\dot{x} = \begin{bmatrix} -1 & 0\\ -3 & 2 \end{bmatrix}x\]A = [-1 0 -3 2]; Q = eye(size(A,1)); P = lyap(A',Q) eig(P)### Resultado
\[P = \begin{bmatrix} 2.75 & -0.75\\ -0.75 & -0.25 \end{bmatrix}\] \[\lambda(P) = \begin{bmatrix} -0.4271\\2.9271 \end{bmatrix}\]$P$ no es simétrica por lo que el sistema no es estable.
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Sea el sistema:
\[\dot{x} = \begin{bmatrix} -1 & 0\\ -3 &-2 \end{bmatrix}x\]A = [-1 0 -3 -2]; Q = eye(size(A,1)); P = lyap(A',Q) eig(P)### Resultado
\[P = \begin{bmatrix} 1.25 & -0.25\\ -0.25 & 0.25 \end{bmatrix}\] \[\lambda(P) = \begin{bmatrix} 0.191\\1.309 \end{bmatrix}\]$P$ es simétrica y positiva por lo que el sistema es estable.