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Estabilizaci贸n por retroalimentaci贸n de estado

Sea el sistema MIMO:

\[(1) \begin{cases} \dot{x} &= Ax + Bu\\ y &= Cx \end{cases}\quad,\quad \begin{matrix} A:n\times n \\ B:n\times m \\ \end{matrix}\quad m:\text{n煤mero de entradas}\] \[\text{rank}(C_k) = n\] \[\text{rank}(C_k) < n\]

entonces se deben determinar las condiciones para estabilizar el sistema.

Nota El rango de una matriz es el n煤mero de vectores columna $l.i.$ de la matriz.

Teorema 1

Sea el sistema (1) tal que

\[\text{rank}(C_k) < n\]

Sean $q_1$, $q_2$,$\ldots$,$q_r$ los primeros vectores columna linealmente independientes de la matriz de controlabilidad $C_k$

y $q_{r+1}$, $q_{r+2}$,$\ldots$,$q_n$ sean vectores columna arbitrarios linealmente independientes tal que la matriz

\[Q = \begin{bmatrix}q_1\ q_2\ \ldots\ q_r\ q_{r+1}\ q_{r+2}\ \ldots\ q_n\end{bmatrix}\\ \hphantom{Q = }\begin{matrix}\underbrace{\hphantom{q_1\ q_2\ \ldots\ q_r}}_\text{de $C_k$}\ \underbrace{\hphantom{q_{r+1}\ q_{r+2}\ \ldots\ q_n}}_\text{arbitrarios}\end{matrix}\]

es invertible, es decir $\det(Q)\neq 0$.

Entonces la transformaci贸n de estado

\[x = Qz\]

lleva al sistema en la forma controlable/no controlable

\[\begin{aligned} \dot{x} &= Ax + Bu\\ Q\dot{z} &= AQz + Bu\\ \dot{z} &= Q^{-1}AQz + Q^{-1}Bu\\ (2)\ \dot{z} &= \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12}\\ 0 & A_{22}\\ \end{bmatrix}z + \begin{bmatrix}B_1\\0\end{bmatrix}u\quad,\quad \begin{aligned} B_1&:r\times m\\ 0&:(n-r)\times m\\ \end{aligned}\\ \end{aligned}\\\] \[A_{11}:r\times r\quad,\quad A_{12}:r\times (n-r) \quad,\quad O:(n-r)\times r\quad,\quad A_{22}:(n-r)\times (n-r)\]

El sistema (1) y el sistema (2) son similares.

\[\lambda(A) = \lambda(A_{11})\cup \lambda(A_{22})\]

El par ($A_{11}$, $B_1$) es controlable, es decir,

\[\text{rango}(C_{A_11,B_1}) = r\]

Se define la retroalimentaci贸n de estado,

\[\begin{aligned} u &= -\bar{k}z = -[\bar{k}_1\ \bar{k}_2]\begin{bmatrix}z_1\\z_2\end{bmatrix}\quad(3)\\ & = -\bar{k}Q^{-1}x\\ & = -kx\\ \end{aligned}\] \[\boxed{k = \bar{k}Q^{-1}}\]

Sustituyendo (3) en (2):

\[\begin{aligned} (4)\quad \dot{z} &= \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12}\\ 0 & A_{22}\\ \end{bmatrix}z - \begin{bmatrix}B_1\\0\end{bmatrix}[\bar{k}_1\ \bar{k}_2]z\\ &= \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12}\\ 0 & A_{22}\\ \end{bmatrix}z - \begin{bmatrix} B_1\bar{k}_1&B_2\bar{k}_2\\ 0&0 \end{bmatrix}z\\ &=\begin{bmatrix} A_{11} - B_1\bar{k}_1 & A_{12} - B_1\bar{k}_2 \\ 0 & A_{22} \end{bmatrix}z\\ &\phantom{=}\text{Sistema en lazo cerrado}\\ \end{aligned}\]

El problema de estabilizaci贸n por retroalimentaci贸n de estado cuando el sistema no es controlable, se resuelve como un problema de ubicaci贸n de polos para el par ($A_{11}$,$B_1$) $\Rightarrow$ $\bar{k}_1$

\[\bar{k} = [\bar{k}_1\ 0]\\\] \[k = \bar{k}Q^{-1}\]

La condici贸n necesaria para la estabilizaci贸n es que la matriz $A_{22}$ sea estable.

Ejemplo

Sea el sistema. Calcular $k$ para ubicar los polos en lazo cerrado en -3.

\[\begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 & -4\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2\\ -2 & 1 & 0 & -2 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2\\ \end{bmatrix}x + \begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\\0\end{bmatrix}u\]

1. Verificar si es estable

eig(A)
\[\begin{matrix} -2 & 0 & 1 & -1 & -2 \end{matrix}\]

Por lo que NO es estable

2. Verificar si es controlable

r = rank(ctrb(A,B))
\[\begin{matrix} r = 2 \end{matrix}\]

Por lo que el sistema No es controlable, pero tiene 2 variables que s铆 son controlables.

3. Obtener $Q$

Q =  
	 0    -1     1     0     0
     1     0     0     0     0
     0     1     0     1     0
     0     1     0     0     0
     0     0     0     0     1

4. Verificar si $A_{22}$ es estable

A22 = Q(3:end,3:end)
eig(A22)

Si no lo es entonces no se puede estabilizar por retroalimentaci贸n de estado y por lo tanto se acaba aqu铆 el ejercicio.

Pero como s铆 es estable, continuamos.

5. Calcular $\bar k_1$ a partir de $A_{11}$ y $B_1$

A11 = QinvAQ(1:r,1:r);
B1 = QinvB(1:r);

I = eye(size(A11,1));

syms s k;
plc = collect((s+3)^2)

PLCA11 = A11^2 + 6*A11 + 9*I;
CA11B1k = ctrb(A11,B1);

vk = zeros(1,r); vk(end) = 1;
kb1 = vk * CA11B1k^-1 * PLCA11
\[\bar{k}_1 = [6\ 10]\]

6. Obtener $\bar{k}_1 = [\bar{k}_1\ 0]$

kb = [kb1 zeros(1,n-r)]
\[\bar{k} = [6\ 10\ 0\ 0\ 0]\\ \hphantom{\bar{k} =} \underbrace{\hphantom{6\ 10}}_{\bar{k}_1}\ \underbrace{\hphantom{0\ 0\ 0}}_{\bar{k}_2}\]

6. Calcular $k = \bar{k}Q^{-1}$

k = kb*Q^-1

eig(A - B*k)
\[k = [0\ 6\ 0\ 10\ 0]\\\] \[\lambda(A - Bk) = \begin{bmatrix} -3 \\ -3 \\ -2 \\ 0 \\ -2 \end{bmatrix}\]