Forma can贸nica controlable
Ejercicio: Demostrar que la propiedad de controlabilidad es invariante para cualquier transformaci贸n de similitud.
Se considera el sistema
\[\begin{cases} \dot{x} &= Ax + Bu\\ y &= Cx \end{cases}\quad\ldots(1)\]con una entrada u una salida (para que las matrices de observabilidad y controlabilidad sean cuadradas).
Sea la transformaci贸n $\tilde{x} = Px$, con $P$ invertible, as铆:
$1$ y $4$ son similares $\lambda(A) = \lambda(PAP^{-1})$
Sabemos que:
La matriz de controlabilidad para $4$,
\[\begin{aligned} \tilde{C} &= [\tilde{B}\ \ \tilde{A}\tilde{B}\ \tilde{A}^2\tilde{B}\ \ \cdots\ \ \tilde{A}^{n-1}\tilde{B}]\\ &= [PB\ \ PAP^{-1}PB\ \ (PAP^{-1})^2PB\ \ \cdots\ \ (PAP^{-1})^{n-1}PB]\\ &= [PB\ \ PAB\ \ PA^2B\ \ \cdots\ \ PA^{n-1}B]\\ &= P[B\ \ AB\ \ A^2B\ \ \cdots\ \ A^{n-1}B]\\ &= PC\quad\ldots(5) \end{aligned}\]Despejando $P$ de ($5$)
\[P = \tilde{C}C^{-1}\] \[P^{-1}\tilde{C} = C \quad\Rightarrow\quad P^{-1} = C\tilde{C}^{-1}\]Dado que $P$ es invertible,
\[\text{rango}(\tilde{C}) = \text{rango}(C)\]Por lo que la propiedad de controlabilidad no cambia al aplicar una transformaci贸n de similitud.
El polinomio caracter铆stico del sistema (1) se calcula de la siguiente forma:
\[p(s) = \det(sI-A) = s^n + a_1 s^{n-1}+ a_2 s^{n-2} + \cdots + a_{n-1} s + a_n\]Si el sistema (1) es controlable, entonces puede ser transformado a otro sistema haciendo $\tilde{x} = Px$, donde $P$ es invertible.
\[\begin{aligned} \dot{\tilde{x}} &= PAP^{-1}\tilde{x} + PBu = \begin{bmatrix} -a_1 &-a_2 &-a_3 & \cdots & -a_n\\ 1&0&\cdots&\cdots&0\\ 0&1&0&\cdots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots\\ 0&\cdots&\cdots&1&0\\ \end{bmatrix}\\ y &= CP^{-1}\tilde{x} \end{aligned}\]Donde,
\[P^{-1} = C\tilde{C} = [B\ \ AB\ \ A^2B\ \ \cdots\ \ A^{n-1}B]\begin{bmatrix} 1&a_1&a_2&\cdots&a_{n-1}\\ 0&1&a_1&\ddots&\vdots\\ 0&0&1&\ddots&a_2\\ 0&\cdots&\cdots&\ddots&a_1\\ 0&\cdots&\cdots&0&1\\ \end{bmatrix}\]