Forma can贸nica observable
Ejercicio
Demostrar que la propiedad de observabilidad es invariante para cualquier transformaci贸n de similitud.
Se considera el sistema
\[\begin{cases} \dot{x} &= Ax + Bu\\ y &= Cx \end{cases}\quad\ldots(1)\]con una entrada y una salida (para que las matrices de observabilidad y controlabilidad sean cuadradas).
Se define la transformaci贸n de similitud:
$1$ y $4$ son similares $\lambda(A) = \lambda(S^{-1}AS)$
Sabemos que:
La matriz de observabilidad para $4$,
\[\begin{aligned} \tilde{O} &= \begin{bmatrix}\tilde{C}\\\tilde{C}\tilde{A}\\\tilde{C}\tilde{A}^2\\\vdots\\\tilde{C}\tilde{A}^{n-1}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}CSI\\CSS^{-1}AS\\CS(S^{-1}AS)^2\\\vdots\\CS(S^{-1}AS)^{n-1}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}CS\\CAS\\CSS^{-1}A^2S\\\vdots\\CSS^{-1}A^{n-1}S\end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix}CS\\CAS\\CA^2S\\\vdots\\CA^{n-1}S\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}C\\CA\\CA^2\\\vdots\\CA^{n-1}\end{bmatrix}S \end{aligned}\] \[\boxed{\tilde{O} = OS}\]Despejando $S$
\[S = O^{-1}\tilde{O}\] \[S^{-1} = \tilde{O}^{-1}O\]Si $S$ es invertible,
\[\text{rango}(\tilde{O}) = \text{rango}(O)\]Por lo que la propiedad de observabilidad no cambia al aplicar una transformaci贸n de similitud.
El polinomio caracter铆stico del sistema (1) se calcula de la siguiente forma:
\[p(s) = \det(sI-A) = s^n + a_1 s^{n-1}+ a_2 s^{n-2} + \cdots + a_{n-1} s + a_n\]Si el sistema (1) es controlable, entonces puede ser transformado a otro sistema haciendo $x = S\tilde{x}$, donde $S$ es invertible.
\[\begin{aligned} \dot{\tilde{x}} &= S^{-1}AS\tilde{x} + S^{-1}Bu \\ &= \begin{bmatrix} 0&0&0&\cdots&0&-a_{n}\\ 1&0&0&\cdots&0&-a_{n-1}\\ 0&1&0&\cdots&\vdots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&-a_{2}\\ 0&\cdots&\cdots&0&1&-a_{1}\\ \end{bmatrix} \tilde{x} + \begin{bmatrix}bn\\ b_{n-1}\\ \vdots \\ b_2\\ b_1\end{bmatrix}u\\ \end{aligned}\] \[y = CS\tilde{x}\]Donde,
\[\def\rddots{\cdot^{\normalsize\cdot^{\normalsize\cdot}}} S^{-1} = \tilde{O}^{-1}O = \begin{bmatrix} a_{n-1}&\cdots&a_3&a_2&a_1&1\\ \vdots&\rddots&\rddots&\rddots&1&0\\ a_3&\rddots&\rddots&\rddots&\rddots&\vdots\\ a_2&a_1&1&\rddots&&\vdots\\ a_1&1&0&&&\vdots\\ 1&0&\cdots&\cdots&\cdots&0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}C\\CA\\CA^2\\\vdots\\CA^{n-1}\end{bmatrix}\]