Forma canรณnica observable en tiempo discreto
Considere un sistema con funciรณn de transferencia,
Y ( z ) U ( z ) = b 1 z โ 1 + b 2 z โ 2 + โฆ + b n z โ n 1 + a 1 z โ 1 + a 2 z โ 2 + โฆ + a n z โ n \frac{Y(z)}{U(z)} = \frac{b_1z^{-1} + b_2z^{-2} + \ldots + b_nz^{-n}}{1 + a_1z^{-1} + a_2z^{-2} + \ldots + a_nz^{-n}} U ( z ) Y ( z ) โ = 1 + a 1 โ z โ 1 + a 2 โ z โ 2 + โฆ + a n โ z โ n b 1 โ z โ 1 + b 2 โ z โ 2 + โฆ + b n โ z โ n โ
Y ( z ) + a 1 z โ 1 Y ( z ) + a 2 z โ 2 Y ( z ) + โฆ + a n z โ n Y ( z ) = b 1 z โ 1 U ( z ) + โฆ + b n z โ n U ( z ) Y(z) + a_1z^{-1}Y(z) + a_2z^{-2}Y(z)+\ldots+a_nz^{-n}Y(z) = b_1z^{-1}U(z) + \ldots + b_nz^{-n}U(z) Y ( z ) + a 1 โ z โ 1 Y ( z ) + a 2 โ z โ 2 Y ( z ) + โฆ + a n โ z โ n Y ( z ) = b 1 โ z โ 1 U ( z ) + โฆ + b n โ z โ n U ( z )
Y ( z ) = z โ 1 [ b 1 U ( z ) โ a 1 Y ( z ) ] + z โ 2 [ b 2 U ( z ) โ a 2 Y ( z ) ] + โฆ + z โ n + 1 [ b n โ 1 U ( z ) โ a n โ 1 Y ( z ) ] + z โ n [ b n U ( z ) โ a n Y ( z ) ] Y(z) = z^{-1}\left[b_1 U(z) - a_1Y(z)\right] + z^{-2}\left[b_2U(z) - a_2Y(z)\right] + \ldots + z^{-n+1} \left[b_{n-1}U(z) - a_{n-1}Y(z)\right] + z^{-n}\left[b_nU(z) - a_{n}Y(z)\right] Y ( z ) = z โ 1 [ b 1 โ U ( z ) โ a 1 โ Y ( z ) ] + z โ 2 [ b 2 โ U ( z ) โ a 2 โ Y ( z ) ] + โฆ + z โ n + 1 [ b n โ 1 โ U ( z ) โ a n โ 1 โ Y ( z ) ] + z โ n [ b n โ U ( z ) โ a n โ Y ( z ) ]
Y ( z ) = z โ 1 [ b 1 U ( z ) โ a 1 Y ( z ) + z โ 1 { b 2 U ( z ) โ a 2 Y ( z ) + โฆ + z โ 1 ( b n โ 1 U ( z ) โ a n โ 1 Y ( z ) + z โ 1 [ b n U ( z ) โ a n Y ( z ) ] ) } ] Y(z) = z^{-1}\left[b_1U(z) - a_1Y(z) + z^{-1}\left\{b_2 U(z) - a_2Y(z) + \ldots + z^{-1}\left(b_{n-1} U(z) - a_{n-1}Y(z) + z^{-1}\left[b_n U(z) - a_n Y(z)\right]\right)\right\}\right] Y ( z ) = z โ 1 [ b 1 โ U ( z ) โ a 1 โ Y ( z ) + z โ 1 { b 2 โ U ( z ) โ a 2 โ Y ( z ) + โฆ + z โ 1 ( b n โ 1 โ U ( z ) โ a n โ 1 โ Y ( z ) + z โ 1 [ b n โ U ( z ) โ a n โ Y ( z ) ] ) } ]
Se definen las variables de estado,
{ X 1 ( z ) = z โ 1 [ b n U ( z ) โ a n X n ( z ) ] X 2 ( z ) = z โ 1 [ b n โ 1 U ( z ) โ a n โ 1 X n ( z ) + X 1 ( z ) ] โฎ X n โ 1 ( z ) = z โ 1 [ b 2 U ( z ) โ a 2 X n ( z ) + X n โ 2 ( z ) ] X n ( z ) = z โ 1 [ b 1 U ( z ) โ a 1 X n ( z ) + X n โ 1 ( z ) ] = Y ( z ) (a) \tag{a}\begin{cases}
\begin{aligned}
X_1(z) &= z^{-1}\left[b_nU(z) - a_nX_n(z)\right]\\
X_2(z) &= z^{-1}\left[b_{n-1}U(z) - a_{n-1}X_n(z) + X_1(z)\right]\\
&\vdots\\
X_{n-1}(z) &= z^{-1}\left[b_2U(z) - a_2X_n(z) + X_{n-2}(z)\right]\\
X_n(z) &= z^{-1}\left[b_1U(z) - a_1X_n(z) + X_{n-1}(z)\right] = Y(z)\\
\end{aligned}
\end{cases} โฉ โช โช โช โช โช โช โช โช โจ โช โช โช โช โช โช โช โช โง โ X 1 โ ( z ) X 2 โ ( z ) X n โ 1 โ ( z ) X n โ ( z ) โ = z โ 1 [ b n โ U ( z ) โ a n โ X n โ ( z ) ] = z โ 1 [ b n โ 1 โ U ( z ) โ a n โ 1 โ X n โ ( z ) + X 1 โ ( z ) ] โฎ = z โ 1 [ b 2 โ U ( z ) โ a 2 โ X n โ ( z ) + X n โ 2 โ ( z ) ] = z โ 1 [ b 1 โ U ( z ) โ a 1 โ X n โ ( z ) + X n โ 1 โ ( z ) ] = Y ( z ) โ โ ( a )
Multiplicando ambos lados del sistema a a a por z z z :
{ z X 1 ( z ) = [ b n U ( z ) โ a n X n ( z ) ] z X 2 ( z ) = [ b n โ 1 U ( z ) โ a n โ 1 X n ( z ) + X 1 ( z ) ] โฎ z X n โ 1 ( z ) = [ b 2 U ( z ) โ a 2 X n ( z ) + X n โ 2 ( z ) ] z X n ( z ) = [ b 1 U ( z ) โ a 1 X n ( z ) + X n โ 1 ( z ) ] Y ( z ) = X n ( z ) (b) \tag{b}\begin{cases}
\begin{aligned}
zX_1(z) &= \left[b_nU(z) - a_nX_n(z)\right]\\
zX_2(z) &= \left[b_{n-1}U(z) - a_{n-1}X_n(z) + X_1(z)\right]\\
&\vdots\\
zX_{n-1}(z) &= \left[b_2U(z) - a_2X_n(z) + X_{n-2}(z)\right]\\
zX_n(z) &= \left[b_1U(z) - a_1X_n(z) + X_{n-1}(z)\right]\\
Y(z) &= X_n(z)
\end{aligned}
\end{cases} โฉ โช โช โช โช โช โช โช โช โช โช โช โจ โช โช โช โช โช โช โช โช โช โช โช โง โ z X 1 โ ( z ) z X 2 โ ( z ) z X n โ 1 โ ( z ) z X n โ ( z ) Y ( z ) โ = [ b n โ U ( z ) โ a n โ X n โ ( z ) ] = [ b n โ 1 โ U ( z ) โ a n โ 1 โ X n โ ( z ) + X 1 โ ( z ) ] โฎ = [ b 2 โ U ( z ) โ a 2 โ X n โ ( z ) + X n โ 2 โ ( z ) ] = [ b 1 โ U ( z ) โ a 1 โ X n โ ( z ) + X n โ 1 โ ( z ) ] = X n โ ( z ) โ โ ( b )
Aplicando la transformada inversa al sistema b b b :
{ x 1 ( k + 1 ) = โ a n x n ( k ) + b n u ( k ) x 2 ( k + 1 ) = x 1 ( k ) โ a n โ 1 x n ( k ) + b n โ 1 u ( k ) โฎ x n โ 1 ( k + 1 ) = x n โ 2 ( k ) โ a 2 x n ( k ) + b 2 u ( k ) x n ( k + 1 ) = x n โ 1 ( k ) โ a 1 x n ( k ) + b 1 u ( k ) y ( k ) = x n ( k ) (c) \tag{c}\begin{cases}
\begin{aligned}
x_1(k+1) &= - a_nx_n(k) + b_nu(k) \\
x_2(k+1) &= x_1(k) - a_{n-1}x_n(k) + b_{n-1}u(k) \\
&\vdots\\
x_{n-1}(k+1) &= x_{n-2}(k) - a_2x_n(k) + b_2u(k)\\
x_n(k+1) &= x_{n-1}(k) - a_1x_n(k) + b_1u(k)\\
y(k) &= x_n(k)
\end{aligned}
\end{cases} โฉ โช โช โช โช โช โช โช โช โช โช โช โจ โช โช โช โช โช โช โช โช โช โช โช โง โ x 1 โ ( k + 1 ) x 2 โ ( k + 1 ) x n โ 1 โ ( k + 1 ) x n โ ( k + 1 ) y ( k ) โ = โ a n โ x n โ ( k ) + b n โ u ( k ) = x 1 โ ( k ) โ a n โ 1 โ x n โ ( k ) + b n โ 1 โ u ( k ) โฎ = x n โ 2 โ ( k ) โ a 2 โ x n โ ( k ) + b 2 โ u ( k ) = x n โ 1 โ ( k ) โ a 1 โ x n โ ( k ) + b 1 โ u ( k ) = x n โ ( k ) โ โ ( c )
En forma matricial:
x ( k + 1 ) = [ 0 0 0 โฆ 0 โ a n 1 0 0 โฆ 0 โ a n โ 1 0 1 0 โฆ 0 โ a n โ 2 โฎ โฑ โฎ โฎ 0 0 โฆ 1 0 โ a 2 0 0 โฆ 0 1 โ a 1 ] x ( k ) + [ b n b n โ 1 โฎ b 2 b 1 ] u ( k ) y ( k ) = [ 0 0 โฆ 0 1 ] x ( k ) โ Forma can o ห nica observable \underbrace{\begin{aligned}
x(k+1) &= \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & -a_n\\
1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & -a_{n-1}\\
0 & 1 & 0 & \ldots & 0 & -a_{n-2}\\
\vdots & & \ddots & & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & \ldots & 1 & 0 & -a_{2}\\
0 & 0 & \ldots & 0 & 1 & -a_{1}\\
\end{bmatrix}x(k) + \begin{bmatrix}
b_n\\b_{n-1}\\\vdots\\b_2\\b_1
\end{bmatrix}u(k)\\
\\
y(k) &= \begin{bmatrix}
0 & 0 & \ldots & 0 & 1
\end{bmatrix} x(k)
\end{aligned}}_\text{Forma canรณnica observable} Forma can o ห nica observable x ( k + 1 ) y ( k ) โ = โฃ โข โข โข โข โข โข โข โข โก โ 0 1 0 โฎ 0 0 โ 0 0 1 0 0 โ 0 0 0 โฑ โฆ โฆ โ โฆ โฆ โฆ 1 0 โ 0 0 0 โฎ 0 1 โ โ a n โ โ a n โ 1 โ โ a n โ 2 โ โฎ โ a 2 โ โ a 1 โ โ โฆ โฅ โฅ โฅ โฅ โฅ โฅ โฅ โฅ โค โ x ( k ) + โฃ โข โข โข โข โข โข โก โ b n โ b n โ 1 โ โฎ b 2 โ b 1 โ โ โฆ โฅ โฅ โฅ โฅ โฅ โฅ โค โ u ( k ) = [ 0 โ 0 โ โฆ โ 0 โ 1 โ ] x ( k ) โ โ โ
Ejercicio
Sea el sistema,
y ( k ) + 5 y ( k โ 1 ) + 6 y ( k โ 2 ) = u ( k โ 1 ) + u ( k โ 2 ) y(k) + 5y(k-1) + 6y(k-2) = u(k-1) + u(k-2) y ( k ) + 5 y ( k โ 1 ) + 6 y ( k โ 2 ) = u ( k โ 1 ) + u ( k โ 2 )
Simular el sistema, y ( 0 ) = 2 y(0) = 2 y ( 0 ) = 2 , y ( 1 ) = โ 3 y(1) = -3 y ( 1 ) = โ 3 , u ( k ) = cos โก ( k ) u(k) = \cos(k) u ( k ) = cos ( k ) . Graficar y ( k ) y(k) y ( k )
y ( k + 2 ) + 5 y ( k + 1 ) + 6 y ( k ) = u ( k + 1 ) + u ( k ) y(k+2) + 5y(k+1) + 6y(k) = u(k+1) + u(k) y ( k + 2 ) + 5 y ( k + 1 ) + 6 y ( k ) = u ( k + 1 ) + u ( k )
y ( k + 2 ) = โ 5 y ( k + 1 ) โ 6 y ( k ) + u ( k + 1 ) + u ( k ) y(k+2) = - 5y(k+1) - 6y(k) + u(k+1) + u(k) y ( k + 2 ) = โ 5 y ( k + 1 ) โ 6 y ( k ) + u ( k + 1 ) + u ( k )
function yk2 = fcn ( yk , yk1 , k )
uk1 = cos ( k + 1 );
uk = cos ( k + 2 );
yk2 = - 5 * yk1 - 6 * yk + uk1 + uk ;
Obtener la forma canรณnica observable. Graficar y ( k ) y(k) y ( k ) y comparar con el punto 1.
x ( k + 1 ) = [ 0 โ 6 1 โ 5 ] x ( k ) + [ 1 1 ] u ( k ) y ( k ) = [ 0 1 ] x ( k ) \begin{aligned}
x(k+1) &= \begin{bmatrix}
0 & -6\\
1 & -5\\
\end{bmatrix}x(k) + \begin{bmatrix}
1\\1
\end{bmatrix}u(k)\\
y(k) &= \begin{bmatrix}
0 & 1
\end{bmatrix}x(k)
\end{aligned} x ( k + 1 ) y ( k ) โ = [ 0 1 โ โ 6 โ 5 โ ] x ( k ) + [ 1 1 โ ] u ( k ) = [ 0 โ 1 โ ] x ( k ) โ
Para k = 0 k = 0 k = 0 :
{ x 2 ( 0 ) = y ( 0 ) = 2 x 2 ( 1 ) = x 1 ( 0 ) โ 5 x 2 ( 0 ) + u ( 0 ) = x 1 ( 0 ) โ 10 + 1 = y ( 1 ) = โ 3 x 1 ( 0 ) = 9 โ 3 = 6 \begin{cases}
x_2(0) = y(0) = 2\\
x_2(1) = x_1(0) -5 x_2(0) + u(0) = x_1(0) -10 + 1 = y(1) = -3\\
x_1(0) = 9-3 = 6
\end{cases} โฉ โช โช โจ โช โช โง โ x 2 โ ( 0 ) = y ( 0 ) = 2 x 2 โ ( 1 ) = x 1 โ ( 0 ) โ 5 x 2 โ ( 0 ) + u ( 0 ) = x 1 โ ( 0 ) โ 1 0 + 1 = y ( 1 ) = โ 3 x 1 โ ( 0 ) = 9 โ 3 = 6 โ
function [ xk1 , yk ] = fcn ( xk , k )
A = [ 0 - 6
1 - 5 ];
B = [ 1 1 ] ' ;
C = [ 0 1 ];
uk = cos ( k );
xk1 = A * xk + B * uk ;
yk = C * xk ;
Simulando ambos sistemas:
Se realiza la comparaciรณn de las salidas y ( k ) y(k) y ( k ) :
โก \square โก