Observador de orden reducido
El observador de orden completo
\[\dot{\hat{x}} = A\hat{x} + Bu + L(y - C\hat{x})\]estima todas las variables de estado. Sin embargo, de manera pr谩ctica algunas de las variables de estado pueden medirse con precisi贸n y por lo tanto, no es necesario estimarlas.
El observador de orden reducido s贸lo aproximar谩 las variables desconocidas.
Sea el sistema,
\[\begin{cases} \dot{x} = Ax + Bu\\ y = Cx\quad,\quad y\in \mathrm{R} \end{cases}\]donde:
\[x = \begin{bmatrix} x_a\\x_b \end{bmatrix}\begin{aligned} &\leftarrow\text{Parte medible}\\ &\leftarrow\text{Parte NO medible}\\ \end{aligned}\] \[\begin{aligned} (2)\quad\dot{x} &= \begin{bmatrix} \dot{x}_a\\\dot{x}_b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{aa} &|& A_{ab}\\ \hline A_{ba} &|& A_{bb}\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_a\\x_b \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} B_a\\\hline B_b \end{bmatrix}u\\ y &= \begin{bmatrix} 1 &|& 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_a\\x_b \end{bmatrix} \end{aligned}\]Por lo tanto:
\[\begin{aligned} \dot{x}_a &= A_{aa}x_a + A_{ab}x_b + B_au\\ \underbrace{\dot{x}_a - A_{aa}x_a - B_au}_\text{Depende de la parte medible de $u$} &= A_{ab}x_b \\ \end{aligned}\]De $(2)$:
\[\begin{aligned} \dot{x_b} &= A_{ba} x_a + A_{bb}x_b + B_bu\\ (3)\quad\dot{x_b} &= A_{bb}x_b + \underbrace{A_{ba} x_a + B_bu}_\text{Son conocidos}\\ \end{aligned}\]La ecuaci贸n $(3)$ representa el sistema din谩mico de la parte NO medible.
Se propone el observador para el sistema $(3)$:
\[\begin{aligned} \dot{\hat{x}}_b &= A_{bb}\hat{x}_b + A_{ba}x_a + B_bu + L(y_\text{obs} - A_{ab}\hat{x}_b)\\ &= A_{bb}\hat{x}_b + A_{ba}x_a + B_bu + L(\dot{x}_a - A_{aa}x_a - B_au - A_{ab}\hat{x}_b)\\ &= (A_{bb} - LA_{ab})\hat{x}_b + A_{ba}x_a + B_bu + L(\dot{x}_a - A_{aa}x_a - B_au)\\ \dot{\hat{x}}_b - L\dot{x}_a &= (A_{bb} - LA_{ab})\hat{x}_b + A_{ba}x_a + B_bu - LA_{aa}x_a - LB_au)\\ \dot{\hat{x}}_b - L\dot{x}_a &= (A_{bb} - LA_{ab})\hat{x}_b + (A_{ba} - LA_{aa})x_a + (B_b - LB_a)u\\ \dot{\hat{x}}_b - L\dot{x}_a &= (A_{bb} - LA_{ab})\hat{x}_b + (A_{ba} - LA_{aa})y + (B_b - LB_a)u\\ \end{aligned}\] \[(4)\quad\dot{\hat{x}}_b - L\dot{x}_a = (A_{bb} - LA_{ab})(\hat{x}_b - Ly) + \left[(A_{bb} - LA_{ab})L + (A_{ba} - LA_{aa})\right]y + (B_b - LB_a)u\]Se definen:
\[\begin{aligned} x_b - Lx_a &= x_b - Ly = \eta\\ \hat{x}_b - Lx_a &= \hat{x}_b - Ly = \hat{\eta}\\ \end{aligned}\]Entonces, sustituyendo en $(4)$:
\[(5)\quad\begin{cases} \dot{\hat{\eta}} = (A_{bb} - LA_{ab})\hat{\eta} + \left[(A_{bb} - LA_{ab})L + (A_{ba} - LA_{aa})\right]y + (B_b - LB_a)u\\ \hat{x}_b = \hat{\eta} + Ly\\ \end{cases}\]El sistema $(5)$ representa al observador de estado de orden reducido.
La din谩mica del observador depende de la matriz $A_{bb} - LA_{ab}$. Entonces la ganancia para el observador de orden reducido se calcula con los m茅todos de ubicaci贸n de polos para la matriz $A_{bb} - LA_{ab}$
Ejercicio
Calcular la ganancia del observador de orden reducido para ubicar los polos en $-2 \pm 2j$.
\[\begin{aligned} \dot{x} &= \begin{bmatrix} 0 &|& 4 & 0\\ \hline -3 &|& 0 & 2\\ 0 &|& 0 & -2\\ \end{bmatrix}x + \begin{bmatrix} 0\\\hline0\\2 \end{bmatrix}u\\ y &= \begin{bmatrix} 1 &|& 0 & 0 \end{bmatrix}x = x_1 \end{aligned}\]clc; clear all; close all;
A = [0 4 0
-3 0 2
0 0 -2];
B = [0 0 2]';
C = [1 0 0];
Abb = A(2:end,2:end);
Aab = A(1,2:end);
% Se obtienen los coeficientes del sistema
syms s;
n = size(Abb,2);
I = eye(n);
pla = collect(det(s*I - Abb))
a = sym2poly(pla);
a = a(2:end);
% Se calculan los coeficientes de lazo cerrado
% A partir de los polos deseados del sistema
p = [-30 -30];
plcd = 1;
for i=[1:length(p)]
plcd = plcd * (s-p(i));
end
plcd = collect(plcd)
at = sym2poly(plcd);
at = at(2:end);
% Se obtiene S
Abbt = [zeros(1,n-1);eye(n-1)];
Abbt = [Abbt -fliplr(a)'];
Aabt = [zeros(1,n-1) 1];
Ot = obsv(Abbt,Aabt);
Ok = obsv(Abb,Aab);
Sinv = Ot^-1*Ok;
S = Sinv^-1
Lb = fliplr(at) - fliplr(a);
L = S*Lb
eig(Abb-L*Aab)