Solución de ecuaciones de estado en tiempo discreto
Sea el sistema
\[\tag{1} \begin{cases} \begin{aligned} x(k+1) &= Ax(k) + Bu(k)\\ y(k) &= Cx(k) \end{aligned} \end{cases}\]con condicion inicial $x(0)=x_0$
El objetivo es determinar $x(k)$ y la respuesta $y(k)$.
Aplicando transformada $\mathcal{Z}$ en ambos lados del sistema $(1)$,
\[\begin{aligned} \mathcal{Z}\left\{x(k+1)\right\} &= \mathcal{Z}\left\{Ax(k)\right\} + \mathcal{Z}\left\{Bu(k)\right\}\\ zX(z) - zx_0 &= AX(z)+ BU(z)\\ zX(z) - AX(z) &= zx_0+ BU(z)\\ (zI - A)X(z) &= zx_0+ BU(z)\\ X(z) &= (zI - A)^{-1}zx_0+ (zI - A)^{-1}BU(z)\\ \end{aligned}\] \[\tag{2} \begin{cases} \begin{aligned} X(z) &= (zI - A)^{-1}zx_0+ (zI - A)^{-1}BU(z)\\ Y(z) &= CX(z) = C(zI - A)^{-1}zx_0+ C(zI - A)^{-1}BU(z)\\ \text{Si}\ x_0 = 0\quad\Rightarrow\quad Y(z) &= \underbrace{C(zI - A)^{-1}BU(z)}_\text{Matriz de transferencia} \end{aligned} \end{cases}\]Aplicando transformada inversa al sistema $(2)$,
\[\begin{aligned} Z^{-1}\left\{X(z)\right\} &= x(k) = Z^{-1}\left\{(zI-A)^{-1}z\right\}x_0 + Z^{-1}\left\{(zI-A)^{-1}BU(z)\right\}\\ y(k) &= Cx(k) + Du(k) \end{aligned}\] \[y(k) = \underbrace{C Z^{-1}\left\{(zI-A)^{-1}z\right\}}_\text{Respuesta transitoria}x_0 + \underbrace{C Z^{-1}\left\{(zI-A)^{-1}BU(z)\right\}}_\text{Respuesta estacionaria}\]Ejercicio
Determinar la respuesta del sistema:
\[\begin{cases} x_1(k+1) = 2 x_1(k) + 0.5 x_2(k) - 5\\ x_2(k+1) = 0.8 x_2(k) + 2\\ y(k) = x_1(k) - x_2(k) \end{cases}\]Con $c.i.$ $x_1(0) = 2$, $x_2(0) = -1$ y entrada $u(k) = 1$
\[\begin{cases} x(k+1) = \begin{bmatrix} 2 & 0.5\\ 0 & 0.8\\ \end{bmatrix}x(k) + \begin{bmatrix} -5\\2 \end{bmatrix}u(k)\\ y(k) = \begin{bmatrix} 1 & -1 \end{bmatrix}x(k) \end{cases}\]clc; close all; clear all;
A = [2 0.5
0 0.8];
B = [-5
2];
C = [1 -1];
x0 = [2
-1];
syms z;
U = z/(z-1);
I = eye(size(A,1));
yh = C*iztrans((z*I-A)^-1 * z)*x0
yp = C*iztrans((z*I-A)^-1 * B*U)
y = yh + yp
El resultado es el siguiente:
\[y = \frac{187}{12}0.8^k - \frac{31}{12}2^k - 10\]