Soluci贸n de ecuaciones en espacio de estado
Sea el sistema
\[\begin{cases} \dot{x} &= Ax + Bu\\ y &= Cx \end{cases}\quad,\quad x(0) = x_0\]El problema consiste en obtener x(t) y la respuesta y(t) para el sistema.
Aplicando la transformada de Laplace al sistema:
\[\begin{aligned} \mathcal{L}\{\dot{x}\} &= \mathcal{L}\{Ax(t)\}+\mathcal{L}\{Bu(t)\}\\ \mathcal{L}\{y(t)\} &= \mathcal{L}\{Cx(t)\} \end{aligned}\] \[\begin{aligned} sX(s) - x(0) &= AX(s) + BU(s)\\ Y(s) &= CX(s) \end{aligned}\] \[\begin{aligned} sX(s) - AX(s) &= x(0) + BU(s)\\ (sI -A)X(s) &= x(0) + BU(s)\\ \end{aligned}\]Multiplicando por $(sI - A)$ por la izquierda:
\[\begin{aligned} X(s) &= (sI -A)^{-1}x(0) + (sI -A)^{-1}BU(s)\\ \end{aligned}\]Por lo tanto:
\[Y(s) = C(sI-A)^{-1} x(0) + C(sI-A)^{-1} B U(s)\]Si $x(0) = 0$
\[Y(s) = \underbrace{C(sI-A)^{-1} B}_{\text{Matriz de transferencia}} U(s)\]Aplicando transformada inversa de Laplace:
\[x(t)=\mathcal{L}^{-1}\{X(s)\}=\mathcal{L}^{-1}\{(sI-A)^{-1}\}x_0+\mathcal{L}^{-1}\{(sI-A)^{-1}BU(s)\}\] \[\begin{aligned} y(t)&=\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}=Cx(t)\\ y(t)&=\underbrace{C\mathcal{L}^{-1}\{(sI-A)^{-1}\}x_0}_\text{Soluci贸n homog茅nea (Respuesta transitoria)}+\underbrace{C\mathcal{L}^{-1}\{(sI-A)^{-1}BU(s)\}}_\text{Soluci贸n part铆cular (Respuesta estacionario)} \end{aligned}\]