Soluci贸n general de ecuaciones lineales en espacio de estado
Matriz exponencial
sea:
\[A = \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\] \[e^{At} = \begin{bmatrix}e^{at}&e^{bt}\\e^{ct}&e^{dt}\end{bmatrix}\]Soluci贸n general de ecuaciones lineales en espacio de estado
Sea el sistema
\[(1)\begin{cases} \dot{x} &= Ax + Bu\\ y &= Cx \end{cases}\quad,\quad x(0) = x_0\]El problema consiste en obtener x(t) y la respuesta y(t) para el sistema.
Ejemplo
\[\dot{x} = 5x + 2u\quad,\quad c.i. = -1\] \[u = 1\] \[\dot{x} - 5x = 2u\] \[e^{-5t}(\dot{x} - 5x) = e^{-5t}2u\] \[e^{-5t}\dot{x} - 5xe^{-5t} = 2e^{-5t}u\] \[\dfrac{d}{dt}(e^{-5t}x) = 2e^{-5t}2u\]Integrando:
\[\left.e^{-5\tau}x(\tau)\right|^t_0 = -\dfrac{2}{5}\left.e^{-5t}\right|^t_0\]Despejando x:
\[x = -\dfrac{3}{5}e^{-5t} - \dfrac{2}{5}\] \[\square\]Soluci贸n general
De (1):
\[\dot{x} - Ax = Bu\] \[e^{-At}(\dot{x} - Ax) = e^{-At}Bu\] \[e^{-At}\dot{x} - e^{-At}Ax = e^{-At}Bu\] \[e^{-At}\dot{x} - Ae^{-At}x = e^{-At}Bu\] \[\dfrac{d}{dt}\left(e^{-At}x\right) = e^{-At}Bu\] \[\left.e^{-At}x\right|^t_0 = \int_0^t e^{-A\tau}Bu\ d\tau\] \[e^{-At}x - \underbrace{e^{0}}_Ix(0) = \int_0^t e^{-A\tau}Bu\ d\tau\] \[e^{-At}x = x(0) + \int_0^t e^{-A\tau}Bu\ d\tau\] \[\boxed{x = e^{At}x(0) + e^{At}\int_0^t e^{-A\tau}Bu\ d\tau}\] \[\boxed{x = e^{At}x(0) + \int_0^t e^{A(t-\tau)}Bu\ d\tau}\\ \text{F贸rmula general}\]Por lo tanto
\[\boxed{y = Cx = \underbrace{Ce^{At}x(0)}_\text{respuesta en transitorio} + \underbrace{C\int_0^t e^{A(t-\tau)}Bu\ d\tau}_\text{respuesta en transitorio}}\]Comparando con la soluci贸n por Laplace:
\[y(t)=C\mathcal{L}^{-1}\{(sI-A)^{-1}\}x_0+C\mathcal{L}^{-1}\{(sI-A)^{-1}BU(s)\}\] \[\boxed{e^{At} = \mathcal{L}^{-1}\left\{(sI-A)^{-1}\right\}}\]