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Transformaciones de similitud

Considere el vector de estado

\[\vec{x} = \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\\vdots\\x_n \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^n\]

El conjunto de vectores ${\vec{x_1}, \vec{x_2},\ldots, \vec{x_n}}$ se dice que es linealmente dependiente si existen n煤meros reales $\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n$ no todos cero, tales que:

\[\alpha_1\vec{x_1} + \alpha_2\vec{x_2} +\cdots+ \alpha_n\vec{x_n} = 0\]

Si el 煤nico conjunto de vectores que satisface la ecuaci贸n es:

\[\alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_n = 0\]

Entonces el conjunto de vectores ${\vec{x_1}, \vec{x_2},\ldots, \vec{x_n}}$ se dice que es linealmente independiente.

Ejercicio

Cu谩les de los siguientes vectores son l.d. o l.i.?
a) $\vec{x_1}=\begin{bmatrix}1\ \ 1\end{bmatrix}; \vec{x_2}=\begin{bmatrix}-3\ \ -3\end{bmatrix}$
Es l.d.
b) $\vec{x_1}=\begin{bmatrix}1\ \ 1\end{bmatrix}; \vec{x_2}=\begin{bmatrix}-1\ \ 1\end{bmatrix}$
Es l.i.
c) $\vec{x_1}=\begin{bmatrix}1\ \ 3\end{bmatrix}; \vec{x_2}=\begin{bmatrix}0\ \ 0\end{bmatrix}$
Es l.d.

Base

Un conjunto de vectores $l.i.$ en $\mathbb{R}^n$ es llamado base si cada vector en $\mathbb{R}^n$ puede expresarse como una combinaci贸n lineal 煤nica.
En $\mathbb{R}^n$, cualquier conjuntono de vectores $l.i.$ puede usarse como una base.

Sea el conjunto ${q_1, q_2,\ldots,q_n}$, $q_i \in \mathbb{R}^n$. Entonces $x$ puede expresarse de manera 煤nica como:

\[x = \alpha_1 q_1 + \alpha_1 q_1 + \cdots + \alpha_n q_n = \underbrace{[q_1\ q_2\ \ldots\ q_n]}_Q \underbrace{\begin{bmatrix}\alpha_1\\\alpha_2\\\vdots\\\alpha_n\end{bmatrix}}_{\tilde{x}}\]

Se define $Q = [q_1\ q_2\ \ldots\ q_n]$, $n\times n$ y tambi茅n $\tilde{x} = \begin{bmatrix}\alpha_1\\alpha_2\\vdots\\alpha_n\end{bmatrix}$, entonces:

\[x = Q\tilde{x}\quad\text{贸}\quad \tilde{x} = Q^{-1}x\]

Considere la ecuaci贸n:

\[Ax = y\]

Con respecto a la base ${q_1\ q_2\ \ldots\ q_n}$ se tiene que:

\[\tilde{A}\tilde{x} = \tilde{y}\]

Donde:
$x = Q\tilde{x}$
$y = Q\tilde{y}$
$Q = [q_1\ q_2\ \ldots\ q_n]$

Sustituyendo:

\[\begin{aligned} Ax &= y\\ AQ\tilde{x} &= Q\tilde{y}\\ Q^{-1}(AQ\tilde{x} &= Q\tilde{y})\\ \underbrace{Q^{-1}AQ}_{\tilde{A}}\tilde{x} &= \tilde{y}\\ \end{aligned}\]

Entonces $\tilde{A} = Q^{-1}AQ$ es similar con la matriz A, es decir, tienen el mismo conjunto de valores propios.

\[\lambda(A) = \lambda(\tilde{A})\quad\Rightarrow\quad p(s) = \det(sI-A) = \det(sI-\tilde{A})\]

Ejercicio

A. Demostrar que:

\(p(s)= \det(sI-\tilde{A}) = \det(sI-A\)
$

\[\begin{aligned} p(s)&=\det(sI-\tilde{A})\\ &=\det(sI-Q^{-1}AQ)\\ &=\det(sQ^{-1}Q-Q^{-1}AQ)\quad\leftarrow\quad I=Q^{-1}Q\\ &=\det(Q^{-1}sQ-Q^{-1}AQ)\\ &=\det(Q^{-1}[sI-A]Q)\\ &=\det(Q^{-1})\det(sI-A)\det(Q)\\ &=\det(Q^{-1})\det(Q)\det(sI-A)\\ &=\det(Q^{-1}Q)\det(sI-A)\\ &=\det(sI-A)\\ \end{aligned}\]

B. Demostrar que:

\[\det(sI-\tilde{A}) = \det(sI-A)\]

Variables de estado

Para el sistema din谩mico, $x = Q\tilde{x}$

\[(a) = \begin{cases}\dot{x} = Ax + Bu\\ y = Cx \end{cases}\]

entonces,

\[Q\dot{\tilde{x}} = AQ\tilde{x} + Bu\] \[(b) = \begin{cases}\dot{\tilde{x}} = Q^{-1}AQ\tilde{x} + Q^{-1}Bu\\ y = CQ\tilde{x} \end{cases}\]