Ubicación de polos
y y y u u u
Si la señal de referencia es una constante
Ubicación de polos por retroalimentación de estado
Considere el sistema SISO
( 1 ) { x ˙ = A x + B u y = C x (1)\begin{cases}
\dot{x} &= Ax + Bu\\
y &= Cx
\end{cases} ( 1 ) { x ˙ y = A x + B u = C x
Se asume que el sistema ( 1 ) (1) ( 1 )
Se asume que se conoce todo el vector de estado x x x
El polinomio característico del sistema ( 1 ) (1) ( 1 )
p ( s ) = det ( s I − A ) = s n + a 1 s n − 1 + a 2 s n − 2 + ⋯ + a n − 1 s + a n = ( s − q 1 ) ( s − q 2 ) ⋯ ( s − q n ) \begin{aligned}
p(s) &= \det(sI-A) = s^n + a_1 s^{n-1}+ a_2 s^{n-2} + \cdots + a_{n-1} s + a_n\\
&=(s-q_1)(s-q_2)\cdots(s-q_n)
\end{aligned} p ( s ) = det ( s I − A ) = s n + a 1 s n − 1 + a 2 s n − 2 + ⋯ + a n − 1 s + a n = ( s − q 1 ) ( s − q 2 ) ⋯ ( s − q n ) Donde: q 1 , q 2 , … , q n q_1, q_2, \ldots, q_n q 1 , q 2 , … , q n
El problema de ubicación de polos consiste en asignar vectores μ 1 , μ 2 , … , μ n \mu_1, \mu_2,\ldots,\mu_n μ 1 , μ 2 , … , μ n
q 1 q 2 ⋮ q n ⟶ μ 1 μ 2 ⋮ μ n \begin{matrix}q_1\\ q_2\\ \vdots\\ q_n\end{matrix} \longrightarrow \begin{matrix}\mu_1\\ \mu_2\\ \vdots\\ \mu_n\end{matrix} q 1 q 2 ⋮ q n ⟶ μ 1 μ 2 ⋮ μ n Se define la retroalimentación de estado:
( 2 ) u = r − k x , k = [ k 1 k 2 … k n ] : 1 × n = r − [ k 1 k 2 … k n ] [ x 1 x 2 ⋮ x n ] = r − ( k 1 x 1 + k 2 x 2 + … + k n x n ) \begin{aligned}
(2)\quad u &= r-kx\quad,\quad k=[k_1\ k_2\ \ldots\ k_n]:1\times n\\
&= r-[k_1\ k_2\ \ldots\ k_n]\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}\\
&= r-(k_1x_1+k_2x_2+\ldots+k_nx_n)
\end{aligned} ( 2 ) u = r − k x , k = [ k 1 k 2 … k n ] : 1 × n = r − [ k 1 k 2 … k n ] ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ x 1 x 2 ⋮ x n ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ = r − ( k 1 x 1 + k 2 x 2 + … + k n x n ) u = r − ∑ i = 1 n k i x i u = r - \sum^n_{i=1}k_ix_i u = r − i = 1 ∑ n k i x i Sustituyendo ( 2 ) (2) ( 2 ) ( 1 ) (1) ( 1 )
x ˙ = A x + B ( r − k x ) = A x + B r − B k x \begin{aligned}
\dot{x} &= Ax + B(r-kx)\\
&= Ax + Br-Bkx\\
\end{aligned} x ˙ = A x + B ( r − k x ) = A x + B r − B k x ( 3 ) x ˙ = ( A − B k ) x + B r Sistema en lazo cerrado (3)\quad \dot{x} = (A-Bk)x + Br\quad\text{Sistema en lazo cerrado} ( 3 ) x ˙ = ( A − B k ) x + B r Sistema en lazo cerrado Calculando el polinomio característico:
p L C ( s ) = det ( s I − ( A − B k ) ) = s n + a ~ 1 s n − 1 + a ~ 2 s n − 2 + ⋯ + a ~ n − 1 s + a ~ n = ( s − μ 1 ) ( s − μ 2 ) ⋯ ( s − μ n ) \begin{aligned}
p_{LC}(s) &= \det(sI-(A-Bk)) = s^n + \tilde{a}_1 s^{n-1}+ \tilde{a}_2 s^{n-2} + \cdots + \tilde{a}_{n-1} s + \tilde{a}_n\\
&=(s-\mu_1)(s-\mu_2)\cdots(s-\mu_n)
\end{aligned} p L C ( s ) = det ( s I − ( A − B k ) ) = s n + a ~ 1 s n − 1 + a ~ 2 s n − 2 + ⋯ + a ~ n − 1 s + a ~ n = ( s − μ 1 ) ( s − μ 2 ) ⋯ ( s − μ n ) Procedimiento
Calcular el polinomio característico en función de los polos deseados en lazo cerrado.
p L C = ( s − μ 1 ) ( s − μ 2 ) ⋯ ( s − μ n ) = s n + a ~ 1 s n − 1 + ⋯ + a ~ n p_{LC}=(s-\mu_1)(s-\mu_2)\cdots(s-\mu_n) = s^n + \tilde{a}_1 s^{n-1}+ \cdots + \tilde{a}_n p L C = ( s − μ 1 ) ( s − μ 2 ) ⋯ ( s − μ n ) = s n + a ~ 1 s n − 1 + ⋯ + a ~ n
Calcular p L C p_{LC} p L C k k k
p L C ( s ) = det ( s I − ( A − B k ) ) = s n + a ~ 1 s n − 1 + a ~ 2 s n − 2 + ⋯ + a ~ n − 1 s + a ~ n p_{LC}(s) = \det(sI-(A-Bk)) = s^n + \tilde{a}_1 s^{n-1}+ \tilde{a}_2 s^{n-2} + \cdots + \tilde{a}_{n-1} s + \tilde{a}_n\\ p L C ( s ) = det ( s I − ( A − B k ) ) = s n + a ~ 1 s n − 1 + a ~ 2 s n − 2 + ⋯ + a ~ n − 1 s + a ~ n
Igualar los coeficientes
a ~ 1 ( k ) = a 1 , a ~ 2 ( k ) = a 2 , … , a ~ n ( k ) = a n \tilde{a}_1(k) = a_1\quad,\quad \tilde{a}_2(k) = a_2\quad,\quad \ldots\quad,\quad \tilde{a}_n(k) = a_n a ~ 1 ( k ) = a 1 , a ~ 2 ( k ) = a 2 , … , a ~ n ( k ) = a n
Realizar la comprobación. Calcular los valores propios de ( A − B k ) (A-Bk) ( A − B k )
Se define la retroalimentación de estado:
u = r − k x = r − k P − 1 x ~ = r − k ˉ x ~ u = r-kx = r - kP^{-1}\tilde{x} = r - \bar{k}\tilde{x} u = r − k x = r − k P − 1 x ~ = r − k ˉ x ~ x ~ = P x x = P − 1 x ~ k ˉ = k P − 1 ⇒ k = k ˉ P \tilde{x} = Px\\
x = P^{-1}\tilde x\\
\bar{k} = kP^{-1} \Rightarrow k=\bar{k}P x ~ = P x x = P − 1 x ~ k ˉ = k P − 1 ⇒ k = k ˉ P Sustituyendo x ~ = P x \tilde x = Px x ~ = P x
P − 1 x ~ ˙ = A P − 1 x ~ + B u x ~ ˙ = P A P − 1 x ~ + P B u = P A P − 1 x ~ + P B ( r − k P − 1 x ~ ) = P A P − 1 x ~ + P B r − P B k P − 1 x ~ = P ( A − B k ) P − 1 x ~ + P B r P^{-1}\dot{\tilde x} = AP^{-1}\tilde x + Bu\\
\begin{aligned}
\dot{\tilde x} &= PAP^{-1}\tilde x + PBu\\
&= PAP^{-1}\tilde x + PB(r-kP^{-1}\tilde x)\\
&= PAP^{-1}\tilde x + PBr-PBkP^{-1}\tilde x\\
&= P(A-Bk)P^{-1}\tilde x + PBr
\end{aligned} P − 1 x ~ ˙ = A P − 1 x ~ + B u x ~ ˙ = P A P − 1 x ~ + P B u = P A P − 1 x ~ + P B ( r − k P − 1 x ~ ) = P A P − 1 x ~ + P B r − P B k P − 1 x ~ = P ( A − B k ) P − 1 x ~ + P B r Por lo que los sistemas ( 3 ) (3) ( 3 ) ( 4 ) (4) ( 4 )
Es decir, A − B k A-Bk A − B k P ( A − B k ) P − 1 P(A-Bk)P^{-1} P ( A − B k ) P − 1
p L C = d e t ( s I − ( A − B k ) ) = d e t ( s I − P ( A − B k ) P − 1 ) = s n + a ~ 1 s n − 1 + a ~ 2 s n − 2 + ⋯ + a ~ n − 1 s + a ~ n \begin{aligned}
p_{LC} &= det(sI-(A-Bk)) = det(sI - P(A-Bk)P^{-1})\\
&= s^n + \tilde{a}_1 s^{n-1}+ \tilde{a}_2 s^{n-2} + \cdots + \tilde{a}_{n-1} s + \tilde{a}_n\\
\end{aligned} p L C = d e t ( s I − ( A − B k ) ) = d e t ( s I − P ( A − B k ) P − 1 ) = s n + a ~ 1 s n − 1 + a ~ 2 s n − 2 + ⋯ + a ~ n − 1 s + a ~ n A ~ − B ~ k ˉ = [ − a 1 ~ − a 2 ~ − a 3 ~ ⋯ − a n ~ 1 0 ⋯ ⋯ 0 0 1 0 ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ 0 ⋯ ⋯ 1 0 ] = [ − a 1 − a 2 − a 3 ⋯ − a n 1 0 ⋯ ⋯ 0 0 1 0 ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ 0 ⋯ ⋯ 1 0 ] − [ 1 0 ⋮ 0 ] [ k ˉ 1 k ˉ 2 … k ˉ n ] = [ − a 1 − k ˉ 1 − a 2 − k ˉ 2 − a 3 − k ˉ 3 ⋯ − a n − k ˉ n 1 0 ⋯ ⋯ 0 0 1 0 ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ 0 ⋯ ⋯ 1 0 ] \begin{aligned}
\tilde{A}-\tilde{B}\bar{k}= \begin{bmatrix}
-\tilde{a_1} &-\tilde{a_2} &-\tilde{a_3} & \cdots & -\tilde{a_n}\\
1&0&\cdots&\cdots&0\\
0&1&0&\cdots&\vdots\\
\vdots&\ddots&\ddots&\ddots\\
0&\cdots&\cdots&1&0\\
\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}
-a_1 &-a_2 &-a_3 & \cdots & -a_n\\
1&0&\cdots&\cdots&0\\
0&1&0&\cdots&\vdots\\
\vdots&\ddots&\ddots&\ddots\\
0&\cdots&\cdots&1&0\\
\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{bmatrix}[\bar{k}_1\ \bar{k}_2\ \ldots \bar{k}_n]\\
&=\begin{bmatrix}
-a_1-\bar{k}_1 &-a_2-\bar{k}_2 &-a_3-\bar{k}_3 & \cdots & -a_n-\bar{k}_n\\
1&0&\cdots&\cdots&0\\
0&1&0&\cdots&\vdots\\
\vdots&\ddots&\ddots&\ddots\\
0&\cdots&\cdots&1&0\\
\end{bmatrix}
\end{aligned} A ~ − B ~ k ˉ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ − a 1 ~ 1 0 ⋮ 0 − a 2 ~ 0 1 ⋱ ⋯ − a 3 ~ ⋯ 0 ⋱ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋱ 1 − a n ~ 0 ⋮ 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ − a 1 1 0 ⋮ 0 − a 2 0 1 ⋱ ⋯ − a 3 ⋯ 0 ⋱ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋱ 1 − a n 0 ⋮ 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ − ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 1 0 ⋮ 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ [ k ˉ 1 k ˉ 2 … k ˉ n ] = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ − a 1 − k ˉ 1 1 0 ⋮ 0 − a 2 − k ˉ 2 0 1 ⋱ ⋯ − a 3 − k ˉ 3 ⋯ 0 ⋱ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋱ 1 − a n − k ˉ n 0 ⋮ 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ Por lo tanto:
− a ~ 1 = − a 1 − k ˉ 1 − a ~ 2 = − a 2 − k ˉ 2 ⋮ − a ~ n = − a n − k ˉ n ⟹ k ˉ 1 = a ~ 1 − a 1 k ˉ 2 = a ~ 2 − a 2 ⋮ k ˉ n = a ~ n − a n \begin{matrix}
-\tilde{a}_1 = -a_1 - \bar{k}_1\\
-\tilde{a}_2 = -a_2 - \bar{k}_2\\
\vdots\\
-\tilde{a}_n = -a_n - \bar{k}_n\\
\end{matrix}\quad\Longrightarrow\quad\begin{matrix}
\bar{k}_1 = \tilde{a}_1 - a_1\\
\bar{k}_2 = \tilde{a}_2 - a_2\\
\vdots\\
\bar{k}_n = \tilde{a}_n - a_n\\
\end{matrix} − a ~ 1 = − a 1 − k ˉ 1 − a ~ 2 = − a 2 − k ˉ 2 ⋮ − a ~ n = − a n − k ˉ n ⟹ k ˉ 1 = a ~ 1 − a 1 k ˉ 2 = a ~ 2 − a 2 ⋮ k ˉ n = a ~ n − a n Procedimiento
Polinomio característico en lazo abierto. Determinar a 1 , a 2 , … , a n a_1, a_2, \ldots, a_n a 1 , a 2 , … , a n
Calcular P − 1 P^{-1} P − 1 P = ( P − 1 ) − 1 P = (P^{-1})^{-1} P = ( P − 1 ) − 1
Polinomio característico en lazo cerrado a ~ 1 , a ~ 2 , … , a ~ n \tilde{a}_1, \tilde{a}_2, \ldots, \tilde{a}_n a ~ 1 , a ~ 2 , … , a ~ n
Calcular k ˉ = [ a ~ 1 − a 1 , a ~ 2 − a 2 , … , a ~ n − a n ] \bar{k} = [\tilde{a}_1-a_1,\tilde{a}_2-a_2, \ldots, \tilde{a}_n-a_n] k ˉ = [ a ~ 1 − a 1 , a ~ 2 − a 2 , … , a ~ n − a n ]
Obtener k = k ˉ P k = \bar k P k = k ˉ P
Comprobación
μ 1 μ 2 ⋮ μ n \mu_1\\
\mu_2\\
\vdots\\
\mu_n\\ μ 1 μ 2 ⋮ μ n Teorema de Cayley-Hamilton
Toda matriz satisface su polinomio característico.
p ( s ) = det ( s I − A ) = s n + a 1 s n − 1 + a 2 s n − 2 + ⋯ + a n − 1 s + a n = A n + a 1 A n − 1 + a 2 A n − 2 + ⋯ + a n I = 0 \begin{aligned}
p(s) &= \det(sI-A) = s^n + a_1 s^{n-1}+ a_2 s^{n-2} + \cdots + a_{n-1} s + a_n\\
&= A^n + a_1 A^{n-1} + a_2 A^{n-2} + \cdots + a_n I = 0\\
\end{aligned} p ( s ) = det ( s I − A ) = s n + a 1 s n − 1 + a 2 s n − 2 + ⋯ + a n − 1 s + a n = A n + a 1 A n − 1 + a 2 A n − 2 + ⋯ + a n I = 0 Ubicación de polos por el método de Ackerman
Es un método muy importante y de hecho matlab tiene un comando para esto:
Se tiene el sistema SISO
( 1 ) { x ˙ = A x + B u y = C x (1)\begin{cases}
\dot{x} &= Ax + Bu\\
y &= Cx
\end{cases} ( 1 ) { x ˙ y = A x + B u = C x
Se asume que el sistema ( 1 ) (1) ( 1 )
Se asume que se conoce todo el vector de estado x x x
El polinomio característico del sistema ( 1 ) (1) ( 1 )
p ( s ) = det ( s I − A ) = s n + a 1 s n − 1 + a 2 s n − 2 + ⋯ + a n − 1 s + a n = ( s − q 1 ) ( s − q 2 ) ⋯ ( s − q n ) \begin{aligned}
p(s) &= \det(sI-A) = s^n + a_1 s^{n-1}+ a_2 s^{n-2} + \cdots + a_{n-1} s + a_n\\
&=(s-q_1)(s-q_2)\cdots(s-q_n)
\end{aligned} p ( s ) = det ( s I − A ) = s n + a 1 s n − 1 + a 2 s n − 2 + ⋯ + a n − 1 s + a n = ( s − q 1 ) ( s − q 2 ) ⋯ ( s − q n ) Donde: q 1 , q 2 , … , q n q_1, q_2, \ldots, q_n q 1 , q 2 , … , q n
Si u = r − k x u = r-kx u = r − k x
x ˙ = ( A − B k ) x + B r ← Sistema en lazo cerrado \dot{x} = (A-Bk)x + Br\qquad\leftarrow \text{Sistema en lazo cerrado} x ˙ = ( A − B k ) x + B r ← Sistema en lazo cerrado Cuyo polinomio característico (lazo cerrado):
p L C ( s ) = det ( s I − ( A − B k ) ) = s n + a ~ 1 s n − 1 + a ~ 2 s n − 2 + ⋯ + a ~ n − 1 s + a ~ n = ( s − μ 1 ) ( s − μ 2 ) ⋯ ( s − μ n ) \begin{aligned}
p_{LC}(s) &= \det(sI-(A-Bk)) = s^n + \tilde{a}_1 s^{n-1}+ \tilde{a}_2 s^{n-2} + \cdots + \tilde{a}_{n-1} s + \tilde{a}_n\\
&=(s-\mu_1)(s-\mu_2)\cdots(s-\mu_n)
\end{aligned} p L C ( s ) = det ( s I − ( A − B k ) ) = s n + a ~ 1 s n − 1 + a ~ 2 s n − 2 + ⋯ + a ~ n − 1 s + a ~ n = ( s − μ 1 ) ( s − μ 2 ) ⋯ ( s − μ n ) Por lo tanto:
P L C ( A − B k ) = ( A − B k ) n + a ~ 1 ( A − B k ) n − 1 + a ~ 2 ( A − B k ) n − 2 + ⋯ + a ~ n I = 0 P_{LC}(A-Bk)= (A-Bk)^n + \tilde{a}_1 (A-Bk)^{n-1} + \tilde{a}_2 (A-Bk)^{n-2} + \cdots + \tilde{a}_n I = 0\\ P L C ( A − B k ) = ( A − B k ) n + a ~ 1 ( A − B k ) n − 1 + a ~ 2 ( A − B k ) n − 2 + ⋯ + a ~ n I = 0 Considerando n = 3 n = 3 n = 3
p L C ( s ) = s 3 + a ~ 1 s 2 + a ~ 2 s + a ~ 3 P L C ( A − B k ) = ( A − B k ) 3 + a ~ 1 ( A − B k ) 2 + a ~ 2 ( A − B k ) n − 2 + ⋯ + a ~ n I = 0 \begin{aligned}
p_{LC}(s) &= s^3 + \tilde{a}_1 s^{2}+ \tilde{a}_2 s +\tilde{a}_3\\
P_{LC}(A-Bk)&= (A-Bk)^3 + \tilde{a}_1 (A-Bk)^{2} + \tilde{a}_2 (A-Bk)^{n-2} + \cdots + \tilde{a}_n I = 0\\
\end{aligned} p L C ( s ) P L C ( A − B k ) = s 3 + a ~ 1 s 2 + a ~ 2 s + a ~ 3 = ( A − B k ) 3 + a ~ 1 ( A − B k ) 2 + a ~ 2 ( A − B k ) n − 2 + ⋯ + a ~ n I = 0 ( A − B k ) 2 = A 2 − A B k − B k A + ( B k ) 2 = A 2 − A B k − B k ( A − B k ) (A-Bk)^2 = A^2 - ABk - BkA + (Bk)^2 = A^2 - ABk - Bk(A-Bk) ( A − B k ) 2 = A 2 − A B k − B k A + ( B k ) 2 = A 2 − A B k − B k ( A − B k ) ( A − B k ) 3 = ( A − B k ) ( A − B k ) 2 = A 3 − A 2 B k − A B k ( A − B k ) − B k ( A − B k ) 2 (A-Bk)^3 = (A-Bk)(A-Bk)^2 = A^3 - A^2Bk - ABk(A-Bk) - Bk(A-Bk)^2 ( A − B k ) 3 = ( A − B k ) ( A − B k ) 2 = A 3 − A 2 B k − A B k ( A − B k ) − B k ( A − B k ) 2 Por lo tanto:
A 3 − A 2 B k − A B k ( A − B k ) − B k ( A − B k ) 2 + a ~ 1 A 2 − a ~ 1 A B k − a ~ 1 B k ( A − B k ) + a ~ 2 A − a ~ 2 B k + a ~ 3 I = 0 A^3 - A^2Bk - ABk(A-Bk) - Bk(A-Bk)^2 + \tilde{a}_1A^2 - \tilde{a}_1ABk - \tilde{a}_1Bk(A-Bk) + \tilde{a}_2A - \tilde{a}_2Bk + \tilde{a}_3I = 0 A 3 − A 2 B k − A B k ( A − B k ) − B k ( A − B k ) 2 + a ~ 1 A 2 − a ~ 1 A B k − a ~ 1 B k ( A − B k ) + a ~ 2 A − a ~ 2 B k + a ~ 3 I = 0 A 3 + a ~ 1 A 2 + a ~ 2 A + a ~ 3 I ⏟ p L C ( A ) ≠ 0 − [ B A B A 2 B ] ⏟ C [ k ( A − B k ) 2 + a ~ 1 k ( A − B k ) + a ~ 2 k k ( A − B k ) + a ~ 1 k k ] = 0 \underbrace{A^3 + \tilde{a}_1A^2 + \tilde{a}_2A + \tilde{a}_3I}_{p_LC(A)\neq0} - \underbrace{[B\ AB\ A^2B]}_{C}\begin{bmatrix}
k(A-Bk)^2 + \tilde{a}_1k(A-Bk) + \tilde{a}_2k\\
k(A-Bk) + \tilde{a}_1k\\
k
\end{bmatrix} = 0 p L C ( A ) = 0 A 3 + a ~ 1 A 2 + a ~ 2 A + a ~ 3 I − C [ B A B A 2 B ] ⎣ ⎢ ⎡ k ( A − B k ) 2 + a ~ 1 k ( A − B k ) + a ~ 2 k k ( A − B k ) + a ~ 1 k k ⎦ ⎥ ⎤ = 0 P L C ( A ) = C [ k ( A − B k ) 2 + a ~ 1 k ( A − B k ) + a ~ 2 k k ( A − B k ) + a ~ 1 k k ] P_{LC}(A) = C\begin{bmatrix}
k(A-Bk)^2 + \tilde{a}_1k(A-Bk) + \tilde{a}_2k\\
k(A-Bk) + \tilde{a}_1k\\
k
\end{bmatrix} P L C ( A ) = C ⎣ ⎢ ⎡ k ( A − B k ) 2 + a ~ 1 k ( A − B k ) + a ~ 2 k k ( A − B k ) + a ~ 1 k k ⎦ ⎥ ⎤ C − 1 P L C ( A ) = [ k ( A − B k ) 2 + a ~ 1 k ( A − B k ) + a ~ 2 k k ( A − B k ) + a ~ 1 k k ] C^{-1}P_{LC}(A) = \begin{bmatrix}
k(A-Bk)^2 + \tilde{a}_1k(A-Bk) + \tilde{a}_2k\\
k(A-Bk) + \tilde{a}_1k\\
k
\end{bmatrix} C − 1 P L C ( A ) = ⎣ ⎢ ⎡ k ( A − B k ) 2 + a ~ 1 k ( A − B k ) + a ~ 2 k k ( A − B k ) + a ~ 1 k k ⎦ ⎥ ⎤ Finalmente:
[ 0 0 … 0 1 ] C − 1 P L C ( A ) F o ˊ rmula de Ackerman \boxed{[0\ 0\ \ldots\ 0\ 1]C^{-1}P_{LC}(A)}\\
\text{Fórmula de Ackerman} [ 0 0 … 0 1 ] C − 1 P L C ( A ) F o ˊ rmula de Ackerman Ecuación de Lyapunov
Sea una matriz F : n × n F : n\times n F : n × n
A − B k = T F T − 1 , T : n × n es invertible A - Bk = TFT^{-1}\qquad ,T:n\times n \text{ es invertible} A − B k = T F T − 1 , T : n × n es invertible Se construye F F F ( A − B k ) (A-Bk) ( A − B k )
Ejemplo
Despejando
A T − B k T = T F A T − T F − B k T ⏟ k ˉ = 0 AT - BkT = TF\\
AT - TF - B\underbrace{kT}_{\bar{k}} = 0\\ A T − B k T = T F A T − T F − B k ˉ k T = 0 A T − T F − B k ˉ = 0 Ecuaci o ˊ n de Lyapunov \boxed{AT - TF - B\bar{k} = 0}\\
\text{Ecuación de Lyapunov} A T − T F − B k ˉ = 0 Ecuaci o ˊ n de Lyapunov Procedimiento
Construir una matriz F F F
Proponer k ˉ \bar{k} k ˉ ( F , k ˉ ) (F,\bar{k}) ( F , k ˉ )
Resolver la ecuación de Lyapunov para encontrar T T T
T = lyap ( A , − F , − B k ˉ ) T = \text{lyap}(A,-F,-B\bar{k}) T = lyap ( A , − F , − B k ˉ )
k = k ˉ T − 1 k = \bar{k}T^{-1} k = k ˉ T − 1
