Relaciones y composiciones

Relaciones difusas binarias

Es un tipo de conjunto difuso que relaciona dos tipos de espacios de discurso distintos.

\[X = {a,b,c,d}\\ Y = {\alpha, \beta, \gamma}\\\]

\[\begin{aligned} R &= X\times Y \mapsto [0,1]\\ &= \left\{(x,y,\mu(x,y))|: (x,y)\in X\times Y\right\} \end{aligned}\]

$X$ está cerca de $Y$ ($X$ e $Y$ son números).
$X$ depende de $Y$ ($X$ e $Y$ son eventos).
$X$ se parece a $Y$ ($X$ e $Y$ son objetos).
Si $X$ es grande, entonces $Y$ es pequeño ($X$ es una medición e $Y$ es una acción correspondiente).

Se puede obtener la relación entre $X$ y $Z$ siguientes:

Esto se realiza mediante la composición difusa:

\[R_1 o R_2 = \left\{(x,z,f(\mu_{R1},\mu_{R2}))|:x\in X;y\in Y;z \in Z\right\}\]

Para esta composición:

\[R_1 o R_2 = \left\{(x,z,\text{MAX}_Y\left[MIN[\mu_{R1}(x,y),\mu_{R2}(y,z)]\right])|:x\in X;y\in Y;z \in Z\right\}\]

Para el primer término:

Por lo tanto el resultado es 0.7

La matriz calculada es la siguiente:

Por lo tanto:

Teniendo los siguientes conjuntos difusos:

\[R = \left\{(x,y,\mu_R(x,y))|: x \in X; y \in Y\right\}\]

Relación difusa binaria

Conjunto Difuso A

Podemos extener $A$ sobre $R$ por medio de una extensión cilindrica:

Extensión de A sobre R

Ahora para obtener $R\ o\ R_A$ aplicandole el mínimo:

Composición R o RA

Ahora, se aplica el máximo proyectando sobre $Y$:

Proyeccción R o RA en Y

Obteniendo entonces el conjutno difuso $B$

Conjunto difuso B

Así que básicamente, se obtuvo el conjunto difuso $B$ a partir de $A$, por medio de la relación de composición entre $X$ e $Y$, $R$.

Ahora bien, se puede realizar la proyección de cualquier punto sobre el otro eje, por ejemplo:

Extensión punto en X en Y

Por lo tanto la composicion difusa transforma un escalar en conjunto difuso.