• Notas
• 8vo Semestre
• Control de Máquinas Eléctricas

Discretización de sistemas discretos

Para utilizar técnicas de procesamiento digital de señales primero es necesario discretizar los sistemas, pues los modelos que obtenemos son continuos. Para este fin existen dos acercamientos.

El primero sería discretizar el modelo en tiempo continuo y luego por medio de la transformada $\mathcal{Z}$, pasar al dominio de la frecuencia y obtener la función de transferencia.

\[\large\boxed{h(t)}\overset{\text{discretizar}}{\longrightarrow}\boxed{h(n)}\overset{\normalsize\mathcal{Z}}{\longrightarrow}\boxed{H(z)}\]

La otra alternativa es obtener la función de transferencia del modelo en tiempo continuo con la transformada de Laplace y luego por medio de una aproximación, obtener su sistema digital (discreto) equivalente aproximado.

\[\large\boxed{h(t)}\overset{\normalsize \mathcal{L}}{\longrightarrow}\boxed{H(s)}\overset{\approx}{\longrightarrow}\boxed{H(z)}\]

La equivalencia exacta entre el plano $s$ y el plano $z$ es:

\[s = \frac{\ln(z)}{T}\]

Donde $T$ es el tiempo de muestreo.

Implementar la equivalencia exacta para pasar de la función de transferencia continua a la función de transferencia discreta, sería demasiado tortuoso. Por eso se usan las aproximaciones siguientes.

• Transformación bilineal o de Tustin

  \[s \approx \dfrac{2(z-1)}{T(z-1)}\]

• Aproximación hacia adelante de Euler

  \[s \approx \dfrac{(z-1)}{T}\]

• Aproximación hacia atrás de Euler

  \[s \approx \dfrac{(z-1)}{Tz}\]

Sin embargo, la transformación que se usará en el curso es la bilineal, pues la aproximación hacia adelante de Euler puede hacer que sistemas estables de tiempo continuo, pasen a ser inestables en tiempo discreto. Para la aproximación hacia atrás, esto no ocurre así, sin embargo puede llegar a deformar significativamente la función de transferencia. La de Tustin, hace el trabajo muy bien.

Procedimiento

1. Obtener la función de transferencia del sistema.
2. Calcular $T$ a partir de $f_s > 2B$

3. Sustituir:

   \[s = \dfrac{2(z-1)}{T(z-1)}\]
4. Desarrollar

En matlab se puede utilizar el comando c2d(H,T,'Tustin') para obtener $H(z)$, donde H, es la función de transferencia en tiempo continuo $H(s)$ y $T$ el tiempo de muestreo.