Giroscopio
La descripci贸n completa del movimiento de un objeto requiere conocer todas sus componentes de velocidad.
El mecanismo utilizado para medir las velocidades angulares es el mismo que en el caso del aceler贸metro, s贸lo que para ese sensor se toma la variaci贸n del marco de referencia fijo. Para este sensor se toma el marco de referencia rotacional.
Por lo tanto, una Unidad de Medici贸n Inercial (IMU) sirve para medir aceleraciones lineales y movimientos rotacionales.
Generalmente por eso se tienen ambos sensores en 1, porque se pueden medir ambos usando el mismo mecanismo.
El dispositivo para medir el movimiento rotacional de un objeto se denomina giroscopio.
An谩lisis cinem谩tico
Sea $v_i$ la velocidad de la part铆cula en el marco de referencia inercial, y sea $v_r$ la velocidad relacionada con el marco de referencia rotacional.
Se define la relaci贸n,
\[\tag{1} v_i = v_r + (\Omega \times r)\]Donde:
$r$ es el vector de posici贸n con respecto a la rotaci贸n, es decir, es la posici贸n relativa con respecto al centro de rotaci贸n.
Se define el operador equivalente en el marco de referencia rotacional tomando la derivada con respecto al tiempo en el marco de referencia inercial.
\[\tag{2} \left(\frac{d\cdot}{dt}\right)_i = \left(\frac{d\cdot}{dt}\right)_r + \Omega \times \cdot\]Aplicando el operador $(2)$ a la ecuaci贸n $(1)$,
\[\tag{3} \left(\frac{dv_i}{dt}\right)_i = a_i = \left(\frac{dv_i}{dt}\right)_r + \Omega \times v_i\]Sustituyendo $(1)$ en $(3)$,
\[\begin{aligned} a_i &= \left(\frac{d}{dt}\left(v_r + (\Omega\times r)\right)\right) + \Omega\times(v_r + (\Omega\times r))\\ &= \left(\frac{d}{dt}v_r\right)_r + \frac{d}{dt}(\Omega\times r) + (\Omega\times v_r) + \Omega\times(\Omega\times r)\\ \end{aligned}\] \[\tag{4} a_i = a_r + \dot{\Omega}\times r + \Omega\times\dot{r} + (\Omega\times v_r) + \Omega\times(\Omega\times r)\]Se tiene que
\[\tag{5} \dot{r} = \left(\frac{dr}{dt}\right)_r = v_r\]Sustituyendo $(5)$ en $(4)$
\[\tag{6} a_i = a_r + 2\ \Omega\times v_r + \Omega\times(\Omega\times r) + (\dot{\Omega}\times r)\]Multiplicando $(6)$ por $m$:
\[\tag{7} F = m a_i = m a_r + \underbrace{2 m \Omega\times v_r}_\text{Fuerza de Coriolis} + m \Omega\times(\Omega\times r) + m\dot{\Omega}\times r\]Si la ecuaci贸n $(7)$ se aplica al movimiento de una part铆cula restringida en el plano $xy$, se obtienen 2 ecuaciones:
\[\def\i{\hat{\imath}} \def\j{\hat{\jmath}} \begin{aligned} r = \i x + \i y\quad&,\quad v_r = \dot{r} = \i \dot{x} + \j \dot{y}\\ \Omega &= \hat{k} \Omega \end{aligned}\] \[\begin{aligned} F_x &= m\ddot{x} - 2m\dot{y}\Omega -m\Omega^2x - m\dot{\Omega}y\\ F_y &= m\ddot{y} + 2m\dot{x}\Omega -m\Omega^2y + m\dot{\Omega}x\\ \end{aligned}\]La fuerza de Coriolis son los t茅rminos $2m\dot{y}\Omega$ y $2m\dot{x}\Omega$
Es la fuerza de Coriolis la que ha sido m谩s explotada en principios utilizados para sensores.
Modelo simplificado para un giroscopio
Por lo tanto, la frecuencia natural del sistema:
\[\omega_x = \sqrt{\frac{2k_x}{m}}\]An谩logamente,
\[\omega_y = \sqrt{\frac{2k_y}{m}}\]